Abitur NRW Mathematik 2023 · LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungskolleg

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{6}\cdot x^3 - 2\cdot x^2 + \frac{28}{3}$, $x \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x = 0$ einen lokalen Hochpunkt aufweist.

(2)

Begründen Sie, dass die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 0$ durch den Punkt $P\left(\frac{4}{3}\Big|\frac{28}{3}\right)$ enthält.

(3)

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $Q(4|-12)$.

Zeigen Sie: Die Gerade, die durch $P$ und $Q$ verläuft, berührt den Graphen von $f$ im Punkt $Q$ als Tangente.

Gegeben ist eine Funktion $f$ mit $f(x) = -x^2\cdot (x - k)$, $x \in \mathbb{R}$, $k \in \mathbb{R}$, $k > 0$.

(1)

Geben Sie abhängig von $k$ die Nullstellen von $f$ an.

(2)

Bestimmen Sie den Wert von $k$, für den die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse den Inhalt $\frac{4}{3}$ FE hat.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = (x^2 + 4\cdot x - 5)\cdot e^x,\ x \in \mathbb{R}$.

(1)

Berechnen Sie, an welchen Stellen die Funktion $f$ null wird.

$x_1 =$

$x_2 =$

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x) = (x^2 + 4\cdot x - 5)\cdot e^x,\ x \in \mathbb{R}$.

(2) Die Funktion $F$ ist für $a, b, c \in \mathbb{R}$ durch die Gleichung$$F(x)=(a \cdot x^2 + b \cdot x + c) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$festgelegt. Berechnen Sie $F'(x)$ und ermitteln Sie mithilfe eines Vergleichs mit $f(x)$ die Gleichung einer Stammfunktion der Funktion $f$.

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit$$f(x)=(2 \cdot x - 1) \cdot e^{2x}, \quad x \in \mathbb{R},$$und$$g(x)=-x \cdot e^{2x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$In Abbildung 1 sind die Graphen beider Funktionen zu sehen.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich die beiden Funktionsgraphen ausschließlich an der Stelle $x = \frac{1}{3}$ schneiden.

Zudem sei die Funktion $D$ mit $D(x)=\left(-\frac{3}{2} \cdot x + \frac{5}{4}\right) \cdot e^{2x}, \quad x \in \mathbb{R}$, betrachtet.

(2)

Weisen Sie nach, dass $D$ eine Stammfunktion der Differenzfunktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)$ darstellt.

(3)

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

Betrachtet werden die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ p \\ q \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $p, q \in \mathbb{R}$.

(1)

Für bestimmte Werte von $p$ und $q$ spannen die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ein Rechteck auf.

Geben Sie dafür ein Beispiel an.

(2)

Für bestimmte Werte von $p$ und $q$ ist das von $\vec{u}$ und $\vec{v}$ aufgespannte Rechteck sogar ein Quadrat.

Ermitteln Sie sämtliche Werte für $p$ und $q$, die dafür in Frage kommen.

Geben Sie die zwei gesuchten Wertepaare an:

1. Wertepaar:

2. Wertepaar:

f) Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}, \; r, s \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt einen Ausschnitt der Ebene $E$.

(1) (i)

Das in Abbildung 2 dargestellte Parallelogramm liegt in der Ebene $E$ und lässt sich beschreiben durch

$\vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}, \; a \le r \le b, \; c \le s \le d$,

wobei $a, b, c$ und $d$ ganzzahlig sind.

Geben Sie anhand von Abbildung 2 die Werte $a, b, c$ und $d$ an.

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$

(1) (ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 diejenigen Punkte der Ebene $E$ ein, die sich ergeben, wenn in die Parametergleichung von $E$ für $r$ und $s$ alle Parameterwerte mit $r \ge 0, \; s \ge 0$ und $r + s = 1$ eingesetzt werden.

(2)

Es gilt:

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \\ -8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; r, s \in \mathbb{R}.$$

Ermitteln Sie für $E$ eine Gleichung in Normalenform.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ sei durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = (x+0{,}5) \cdot (x-0{,}5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Für eine Funktionenschar $g_a$ gilt die Gleichung

$$g_a(x) = (x+a) \cdot (x-a) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \quad a > 0.$$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

Die Funktion $h$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

$($

$\mid$

$)$

$($

$\mid$

$)$

a) (2)

Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf Wendestellen, wobei Sie keine am Funktionsgraphen abgelesenen Werte oder Zusammenhänge nutzen dürfen, und berechnen Sie anschließend die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von $f$.

$($

$\mid$

$)$

$($

$\mid$

$)$

a) (3)

Zeigen Sie rechnerisch, dass $t: y = -e^{-1,5} \cdot x + 0,5 \cdot e^{-1,5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1,5 \mid f(-1,5))$ ist.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Zeigen Sie:

(i) Jeder Graph einer Scharfunktion besitzt genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt.

(ii) Sämtliche Extrempunkte der Schargraphen liegen auf dem Graphen der Funktion $o$ mit $o(x) = -2 \cdot x \cdot e^x$.

b) (3)

Für $-a < z < a$ legen die Punkte $P(-a \mid 0)$, $Q_z(z \mid g_a(z))$ und $R_z(z \mid 0)$ das Dreieck $PQ_z R_z$ fest.

(i) Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B_a$ des Dreiecks $PQ_z R_z$ in Abhängigkeit von $z$ durch die Gleichung

$$B_a(z) = -0,5 \cdot (z+a)^2 \cdot (z-a) \cdot e^z$$

berechnen lässt.

(ii) Bestimmen Sie für $a = 1$ den größten Flächeninhalt, den das Dreieck $PQ_z R_z$ annehmen kann.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ sei durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = (x+0{,}5) \cdot (x-0{,}5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Für eine Funktionenschar $g_a$ gilt die Gleichung

$$g_a(x) = (x+a) \cdot (x-a) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \quad a > 0.$$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

Die Funktion $h$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

a)

(4)

(i)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$, die vom Graphen der Funktion $f$ und der Tangente $t: y = -e^{-1{,}5} \cdot x + 0{,}5 \cdot e^{-1{,}5}$ begrenzt wird.

(ii)

Die Fläche $A$ reicht teilweise unter die $x$-Achse.

Bestimmen Sie, welchen prozentualen Anteil der Inhalt dieser Teilfläche am Inhalt der Fläche $A$ hat.

b)

(2)

Der Graph von $g_a$ und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche, welche die $y$-Achse in zwei Teilflächen teilt.

Untersuchen Sie, ob ein Parameter $a > 0$ existiert, für den die Teilfläche rechts der $y$-Achse doppelt so groß ist wie die Teilfläche links der $y$-Achse.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ sei durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = (x+0{,}5) \cdot (x-0{,}5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Für eine Funktionenschar $g_a$ gilt die Gleichung

$$g_a(x) = (x+a) \cdot (x-a) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \quad a > 0.$$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

Die Funktion $h$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

c) Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0,5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Durch eine Transformation des Graphen der Funktion $f$ lässt sich der Graph der Funktion $h$ gewinnen.

Geben Sie an, welche Transformation hierbei vorliegt.

(2)

Die Graphen von $g_1$ und $h$ haben den Schnittpunkt $S(1 \mid 0)$ sowie einen weiteren Schnittpunkt $T$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $T$.

$T($

$\mid$

$)$

(3)

Der Graph von $f$ soll so transformiert werden, dass er den Graphen von $g_1$ auch im Punkt $S(1 \mid 0)$ schneidet, dabei aber vom Graphen von $h$ verschieden ist.

Beschreiben Sie eine passende Transformation und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Dabei besitzt $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Den oberen Rand beschreibt der Graph einer Funktion $g$, den unteren Rand der Graph einer Funktion $h$.

Für die Funktionen $g$ und $h$, durch deren Graphen der obere und untere Rand in einem geeigneten Intervall beschrieben wird, gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}30x^2 + 0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Im Modell steht eine Längeneinheit für $40\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Üblicherweise legt sich eine Person so auf die Liege, dass sich – bezogen auf den Längsschnitt – die Kniekehlen ungefähr in dem Punkt befinden, der im Modell durch den lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ gegeben ist. Das Gesäß befindet sich dann ungefähr in dem Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Bei einer bequemen Liege sollte die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand zwischen diesen beiden Punkten entsprechen (erste Bedingung). Außerdem sollte im Bereich zwischen diesen beiden Punkten die Steigung zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit

$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2 x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Regel liegt man so auf der Liege, dass – im Längsschnitt betrachtet – die Kniekehlen etwa an dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa an dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten stets zwischen $-0,7$ und $0,7$ liegen (zweite Bedingung).

Teilaufgabe a

a) (1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Hochpunkts und des Tiefpunkts des Graphen von $g$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $x = 1$ und $x = 2$.]

$H($

$\mid$

$)$

$T($

$\mid$

$)$

a) (2)

Berechnen Sie die Entfernung zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt.

a) (3)

Bestimmen Sie rechnerisch die Steigung des Graphen von $g$ an der Wendestelle, ohne dabei Werte oder Zusammenhänge zu nutzen, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden.

a) (4)

Eine Person mit der Körpergröße $172\text{ cm}$ hat im Durchschnitt einen Oberschenkel der Länge $40\text{ cm}$.

Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen für Bequemlichkeit erfüllt.

Teilaufgabe c

Am Seitenteil wird eine Leiste $v$ parallel zur $y$-Achse befestigt (siehe Abbildung 3). Sie soll an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ sitzen, an der der vertikale Abstand (Abstand in $y$-Richtung) zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils am größten ist.

Ermitteln Sie den maximalen vertikalen Abstand zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils.

Teilaufgabe d

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit

$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2 x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

d) (1)

Bestimmen Sie rechnerisch in Abhängigkeit von $k$ die Koordinaten und die Art der lokalen Extrempunkte des Graphen von $g_k$.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen von $g_k$ sind $x = \frac{1}{k}$ und $x = \frac{2}{k}$.]

d) (2)

Bestimmen Sie $k$ so, dass die Liegefläche, modelliert mit $g_k$, die erste Bedingung für Bequemlichkeit bei einem zehnjährigen Kind mit Körpergröße $140\text{ cm}$ und einer Oberschenkellänge von ca. $30\text{ cm}$ erfüllt.

d) (3)

Erläutern Sie, auf welche Weise die Werte von $k$ verändert werden müssen, damit die mit $g_k$ modellierte Liegefläche für große bzw. kleine Menschen geeignet ist.

d) (4)

Zeigen Sie, dass bei $g_k$ die Steigung an der Wendestelle nicht von $k$ abhängt und dass jede mit einer Funktion $g_k$ modellierte Liege die zweite Bedingung für Bequemlichkeit erfüllt.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Dabei besitzt $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Den oberen Rand beschreibt der Graph einer Funktion $g$, den unteren Rand der Graph einer Funktion $h$.

Für die Funktionen $g$ und $h$, durch deren Graphen der obere und untere Rand in einem geeigneten Intervall beschrieben wird, gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}30x^2 + 0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Im Modell steht eine Längeneinheit für $40\text{ cm}$ in der Wirklichkeit.

Üblicherweise legt sich eine Person so auf die Liege, dass sich – bezogen auf den Längsschnitt – die Kniekehlen ungefähr in dem Punkt befinden, der im Modell durch den lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ gegeben ist. Das Gesäß befindet sich dann ungefähr in dem Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Bei einer bequemen Liege sollte die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand zwischen diesen beiden Punkten entsprechen (erste Bedingung). Außerdem sollte im Bereich zwischen diesen beiden Punkten die Steigung zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit

$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2 x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Bei der Optimierung der Liegenform stellte sich heraus, dass es günstiger ist, die Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \geq 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b) (1)

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Gleichung für die Tangente $t$.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

b) (2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die erforderlichen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Der Inhalt der schraffierten Fläche beträgt ungefähr $1{,}25\text{ FE}$.]

b) (3)

Berechnen Sie, welche Masse ein Seitenteil der optimierten Liege hat.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 wird dieser Körper von oben gezeigt. Für den Körper aus den Abbildungen 2 und 3, auf den sich die nachfolgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

b)

(1) Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen gemeinsam in der Ebene $E$.

(i)

Ermitteln Sie die Koordinatenform einer Gleichung für die Ebene $E$.

(ii)

Untersuchen Sie durch Rechnung, ob $B_2$ ein Punkt der Ebene $E$ ist.

Ja

Nein

c)

Die Kante $\overline{A_3B_3}$ verläuft auf der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}$, $r \in \mathbb{R}$, die Kante $\overline{A_4B_4}$ auf der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}$, $s \in \mathbb{R}$.

(1) Weisen Sie durch Rechnung nach, dass $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 wird dieser Körper von oben gezeigt. Für den Körper aus den Abbildungen 2 und 3, auf den sich die nachfolgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $A_3$ an. [1 Punkt]

$A_3($

$|$

$|$

$)$

a) (2)

Berechnen Sie den Rauminhalt des Pyramidenstumpfes. [2 Punkte]

a) (3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Fläche $S$, in der die zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallele Ebene in der Höhe 5 den Pyramidenstumpf schneidet. [2 Punkte]

Teilaufgabe b (2)

b) (2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kante $\overline{A_1B_1}$ mit der Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ des Körpers einschließt. [2 Punkte]

Teilaufgabe c (2)

Für die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ liegt die folgende Rechnung vor, die nur teilweise ausgeführt ist:

(I) $\quad \vec{OP} = \begin{pmatrix}-4 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}6 \\ 2 \\ 10\end{pmatrix}, \quad \vec{OQ} = \begin{pmatrix}4 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 6 \\ 10\end{pmatrix}, \quad r,s \in \mathbb{R}$.

(II) $\quad \vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \dots$

(III) $\quad \begin{vmatrix} \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix}6 \\ 2 \\ 10\end{pmatrix} = 0 \\ \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 6 \\ 10\end{pmatrix} = 0 \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} r = \dots \\ s = \dots \end{vmatrix}$.

(IV) $\quad$ Einsetzen von $r = \dots$ und $s = \dots$ in $\vec{PQ}$ liefert den Vektor $\frac{1}{3} \begin{pmatrix}4 \\ 8 \\ -4\end{pmatrix}$.

(V) $\quad \left|\frac{1}{3} \begin{pmatrix}4 \\ 8 \\ -4\end{pmatrix}\right| = \frac{4 \cdot \sqrt{6}}{3} \approx 3{,}27$.

c) (2) (i)

Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III). [3 Punkte]

c) (2) (ii)

Interpretieren Sie den Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch. [1 Punkt]

Teilaufgabe d

$H_1$ ist der Punkt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ in der Höhe $h$, $0 < h \le 10$.

d) (1)

Weisen Sie nach: $H_1\left(4 - \frac{6}{10}\cdot h \;\Big|\; 4 - \frac{2}{10}\cdot h \;\Big|\; h\right)$. Stellen Sie hierzu eine Gleichung der Geraden $A_1B_1$ mit dem Parameter $t$ auf und geben Sie den Wert von $t$ abhängig von $h$ an. [2 Punkte]

$t =$

$H_2\left(-4+\frac{2}{10}\cdot h \;\Big|\; 4-\frac{6}{10}\cdot h \;\Big|\; h\right)$, $H_3$ und $H_4$ sind die Punkte auf den Kanten $\overline{A_2B_2}$, $\overline{A_3B_3}$ und $\overline{A_4B_4}$ in der Höhe $h$, $0 < h \le 10$.

Die Punkte $H_1H_2H_3H_4$ bilden in jeder Höhe $h$, $0 < h \le 10$, ein Quadrat.

d) (2)

Zeigen Sie: Der Flächeninhalt $F(h)$ des Quadrates $H_1H_2H_3H_4$ in der Höhe $h$ beträgt $F(h) = \frac{4}{5}\cdot h^2 - \frac{64}{5}\cdot h + 64$. Berechnen Sie hierfür den Verbindungsvektor $\vec{H_1H_2}$. [2 Punkte]

$\vec{H_1H_2} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = ($$

$\\$

$\\$

$)$

d) (3)

Ermitteln Sie diejenige Höhe $h$, für die das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ den kleinsten Flächeninhalt hat. [2 Punkte]

d) (4)

In einer bestimmten Höhe $h$ gilt $\alpha = 45^\circ$. Ermitteln Sie diese Höhe $h$. [2 Punkte]

Aufgabenstellung:

Mithilfe von Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videoaufnahmen oder live identifizieren. Das System vergleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Die Leistung einer Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Freiwilligen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige ohne Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase gleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank ab.

a) In der Testphase erkennt die Software eine Zielperson in einem Video mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % korrekt als Zielperson. Diese Wahrscheinlichkeit heißt im Folgenden Trefferwahrscheinlichkeit.

Eine Kontrollperson wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 % irrtümlich als Zielperson klassifiziert.

Von den Videos, die in der Testphase eingesetzt wurden, zeigen 10 % Zielpersonen.

(1)

Erstellen Sie für die beschriebene Situation ein zweistufiges Baumdiagramm mit Beschriftung.

(2)

(i)

(ii)

Die Software stuft die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson ein.

Aufgabenstellung:

Mithilfe von Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videoaufnahmen oder live identifizieren. Das System vergleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Die Leistung einer Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Freiwilligen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige ohne Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase gleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank ab.

b) Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Aussagen über die Güte der Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das nachstehende Ereignis:

Von $50$ zufällig gewählten Videos von Zielpersonen stuft die Software in mehr als $40$ Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson ein.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei $100$ zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die Anzahl der Videos mit korrekt als Zielperson eingestufter Person höchstens um $1{,}5$ Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig gewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit mindestens $95\,\%$ Wahrscheinlichkeit in mindestens zehn dieser Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkannt wird.

c) Für eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit $n = 100$ und $p = 0{,}8$ gilt: Der Erwartungswert ist $\mu = 80$, die Standardabweichung ist $\sigma = 4$.

In der folgenden Abbildung ist ein Ausschnitt aus dem Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ dargestellt. Darüber hinaus ist auch der Graph der Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ der Normalverteilung mit $\mu = 80$ und $\sigma = 4$ abgebildet.

Die Dichtefunktion $\varphi_{80;4}$ kann zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten für die Zufallsgröße $X$ genutzt werden.

Die Wahrscheinlichkeit $P_{100;0{,}8}(74 \le X \le 86)$ kann näherungsweise durch$$\int_{73{,}5}^{86{,}5} \varphi_{80;4}(k)\,\mathrm{d}k$$berechnet werden.

Erklären Sie mithilfe der Abbildung, warum die Integrationsgrenzen so gewählt werden.

e) Ermitteln Sie die Mindest-Trefferwahrscheinlichkeit einer Gesichtserkennungssoftware – in Prozent ohne Nachkommastelle –, damit bei $100$ zufällig gewählten Videos von Zielpersonen mit mindestens $95\,\%$ Wahrscheinlichkeit in mindestens $90$ Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkannt wird.

%

Aufgabenstellung:

Mithilfe von Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videoaufnahmen oder live identifizieren. Das System vergleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorhandenen Fotos. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Die Leistung einer Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Personen getestet. Von einem Teil dieser Freiwilligen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige ohne Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase gleicht die Software Videos einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den Fotos der Datenbank ab.

d) Auch ein weiterer Hersteller vertreibt eine Gesichtserkennungssoftware. Nach dessen Angaben liegt die Trefferwahrscheinlichkeit dieser Software bei $90\,\%$.

Eine Sicherheitsingenieurin möchte diese Herstellerangabe mithilfe eines Hypothesentests zum Signifikanzniveau $10\,\%$ überprüfen. Sie will dabei möglichst ausschließen, dem Hersteller fälschlich vorzuwerfen, die Trefferwahrscheinlichkeit liege unter dem angegebenen Wert, obwohl sie in Wahrheit $90\,\%$ beträgt oder höher ist.

(1)

Entscheiden Sie begründet, ob sich die Sicherheitsingenieurin für die Nullhypothese $H_0: p < 0{,}9$ oder die Nullhypothese $H_0: p \ge 0{,}9$ entscheiden sollte.

Zur Überprüfung ihrer Nullhypothese lässt die Sicherheitsingenieurin $200$ zufällig ausgewählte Videos von Zielpersonen durch die Software überprüfen.

(2)

Bestimmen Sie für den beschriebenen Hypothesentest eine Entscheidungsregel.

$c =$

Aufgabenstellung:

Bei der Skoliose, einer Erkrankung der Wirbelsäule, ist diese nicht gestreckt, vielmehr formen mehrere Wirbel eine Krümmung (vgl. Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen lässt sich diese Krümmung erkennen. Anhand dieser Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Für $-2 \le x \le 2$ beschreibt die Funktion $f$ den Verlauf eines Wirbelsäulenabschnitts eines Skoliose-Patienten mit

$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\ x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Die $x$-Achse stellt die gerade verlaufende Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

Das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule ist zusammen mit dem Graphen von $f$ in Abbildung 2 abgebildet.

Teilaufgabe a

(1)

Bestimmen Sie durch Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f$.

$x =$

$y =$

Deuten Sie die $y$-Koordinate des Hochpunkts im Kontext der Aufgabe.

(2)

(i) Zeigen Sie durch Rechnung, dass der Graph von $f$ symmetrisch zur $y$-Achse verläuft.

Der Punkt $W_1\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \;\middle|\; f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$ ist der Wendepunkt des Graphen von $f$ im II. Quadranten.

(ii) Zeigen Sie, dass die Gerade $t_1$ mit $t_1: y = 0{,}8\cdot \sqrt{2}\cdot e^{-0{,}5}\cdot x + 1{,}6\cdot e^{-0{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W_1$ ist.

(iii) Geben Sie den zweiten Wendepunkt $W_2$ und eine Gleichung der Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Punkt $W_2$ an.

$x =$

$y =$

$y =$

(3)

Der Cobb-Winkel kann mit der Formel

$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1\cdot m_2}\right)$$

aus den Steigungen $m_1$ bzw. $m_2$ der Wendetangenten $t_1$ bzw. $t_2$ ermittelt werden.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose mit einer Beeinträchtigung der Atemwege zu rechnen ist.

Teilaufgabe c

Für einige weitere Skoliose-Patienten konnte der Verlauf der Wirbelsäule durch eine Funktion $h_k$ mit

$$h_k(x) = 0{,}8\cdot e^{-k\cdot x^2},\quad k > 0,\; x \in \mathbb{R}$$

beschrieben werden.

In einem vereinfachten Ansatz zur Analyse der Skoliose soll die maximale Steigung des Graphen der Funktion $h_k$ betrachtet werden. Wenn die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$, ist ein besonderes Therapieprogramm erforderlich.

(1)

Bestimmen Sie die maximale Steigung des Graphen von $h_k$ abhängig von $k$.

(2)

Ermitteln Sie, für welche Werte von $k > 0$ die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$.

Teilaufgabe d

Ein Arzt überlegt, nicht den Cobb-Winkel zwischen den Tangenten in den Wendepunkten zu verwenden, sondern stattdessen den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten der Wirbel, auf denen die Wendepunkte liegen.

Das bedeutet: Statt der Tangente im Punkt $W_1$ wird die Tangente im Punkt $P_1$ verwendet, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Ebenso wird statt der Tangente im Punkt $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$ verwendet, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 6).

Beurteilen Sie ohne zusätzliche Rechnung, ob diese Änderung zu einem größeren oder einem kleineren Winkel führt.

Aufgabenstellung:

Bei der Skoliose, einer Erkrankung der Wirbelsäule, ist diese nicht gestreckt, vielmehr formen mehrere Wirbel eine Krümmung (vgl. Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen lässt sich diese Krümmung erkennen. Anhand dieser Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Für $-2 \le x \le 2$ beschreibt die Funktion $f$ den Verlauf eines Wirbelsäulenabschnitts eines Skoliose-Patienten mit

$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\ x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Die $x$-Achse stellt die gerade verlaufende Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

Das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule ist zusammen mit dem Graphen von $f$ in Abbildung 2 abgebildet.

b) Skoliosen können unter anderem durch das Tragen eines Korsetts behandelt werden. 1

Bei der Herstellung eines Korsetts kommt für den größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, ein spezielles Material zum Einsatz. Die Fläche, die aus diesem speziellen Material besteht, ist in Abbildung 4 schraffiert dargestellt.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der aus dem speziellen Material gefertigt wird.

1 Ein Korsett ist eine stabile oder stabilisierende Stützkonstruktion für den Rumpf und die Wirbelsäule. Es wird meist nach Verletzungen oder bei bestimmten Erkrankungen getragen.