Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper in der Draufsicht zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 gezeigten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$,

$B_1(-2|2|10)$, $B_2(-2|-2|10)$, $B_3(2|-2|10)$, $B_4(2|2|10)$.

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $A_3$ besitzt.

a) (2)

Berechnen Sie, welches Volumen der Pyramidenstumpf hat.

a) (3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Fläche $S$, die entsteht, wenn der Pyramidenstumpf in der Höhe 5 von einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene geschnitten wird.

b) (1) (i)

Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$. Ermitteln Sie für $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.

b) (1) (ii)

Untersuchen Sie durch eine Rechnung, ob $B_2$ ein Punkt der Ebene $E$ ist.

b) (2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kante $\overline{A_1B_1}$ mit der Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ des Körpers einschließt.

°

c) (1)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

c) (2) (i)

Bestimmen Sie mithilfe von (I), (II) und (III) die Werte von $r$ und $s$.

c) (2) (ii)

Interpretieren Sie, was der Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch bedeutet.

d) (1)

Weisen Sie nach: $H_1\left(4 - \frac{6}{10}\cdot h \;\middle|\; 4 - \frac{2}{10}\cdot h \;\middle|\; h\right)$.

d) (2)

Zeigen Sie: Der Flächeninhalt $F(h)$ des Quadrates $H_1H_2H_3H_4$ in der Höhe $h$ beträgt $F(h) = \frac{4}{5}\cdot h^2 - \frac{64}{5}\cdot h + 64$.

d) (3)

Ermitteln Sie diejenige Höhe $h$, für die das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ den kleinsten Flächeninhalt hat.

d) (4)

In einer bestimmten Höhe $h$ gilt $\alpha = 45^\circ$. Ermitteln Sie diese Höhe $h$.