Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · CAS (2023)

Aufgabenstellung

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $f(x)=(x^3 - 5)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ .

b) (1) Im 3. und 4. Quadranten wird zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$ -Achse eine nach links unbegrenzt ausgedehnte Fläche eingeschlossen, deren Inhalt endlich ist. In Abbildung 2 ist diese Fläche schraffiert gezeichnet.

(i)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche, gerundet auf drei Nachkommastellen.

(ii)

Durch die $y$ -Achse wird diese Fläche in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie, in welchem Verhältnis die Inhalte dieser Teilflächen zueinander stehen.

(2)

Die Gleichung $\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ besitzt für $z \neq 0$ genau eine Lösung.

Bestimmen Sie diese Lösung und interpretieren Sie sie anschaulich im geometrischen Zusammenhang.

(3) Die Punkte $O(0\mid 0)$ , $N(-5\mid 0)$ , $Y(0\mid -5)$ spannen das Dreieck $ONY$ auf. Der Graph von $f$ verläuft zum Teil im Inneren des Dreiecks und begrenzt zusammen mit der Seite $\overline{NY}$ eine Fläche $A$ .

(i)

Zeichnen Sie in Abbildung 3 die Fläche $A$ ein.

(ii)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$ .

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Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

b) (1) (i) Nullstelle von f:

Lösung: $\sqrt[3]{5}$ / $1{,}71$

b) (1) (i) Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche, gerundet auf drei Nachkommastellen.

Lösung: $24{,}947$

b) (1) (ii) Ermitteln Sie, in welchem Verhältnis die Inhalte dieser Teilflächen zueinander stehen.

Lösung: $1 : 1{,}268$ / $11 : 13{,}947$

b) (2) Bestimmen Sie diese Lösung der Gleichung $\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ .

Lösung: $2{,}271$

b) (2) Interpretieren Sie die Lösung anschaulich im geometrischen Zusammenhang.

Lösung: Das Flächenstück, das der Graph von f mit den Koordinatenachsen unterhalb der x-Achse im 4. Quadranten einschließt, ist genauso groß wie das Flächenstück oberhalb der x-Achse, das im Bereich von x = 3√5 bis x ≈ 2,271 zwischen dem Graphen von f und der x-Achse liegt.

b) (3) (i) Zeichnen Sie in Abbildung 3 die Fläche A ein.

Lösung: Die Strecke $\overline{NY}$ verbindet $N(-5\mid 0)$ und $Y(0\mid -5)$ . Die Fläche $A$ ist das vom Graphen von $f$ und der Strecke $\overline{NY}$ im Bereich von ca. $x = -3{,}58$ bis $x = 0$ eingeschlossene, schraffierte Flächenstück.

b) (3) (ii) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A.

Lösung: $3{,}748$

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