Abitur NRW Mathematik 2023 · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2\cdot x^2,\ x\in\mathbb{R}$.

(1)

Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die Funktion den Wert null annimmt.

(2)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

FE

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{6}\cdot x^3 - 2\cdot x^2 + \frac{28}{3},\ x\in\mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x=0$ einen Hochpunkt im lokalen Sinne aufweist.

(2)

Begründen Sie, dass die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ den Punkt $P\left(\frac{4}{3}\Big|\frac{28}{3}\right)$ enthält.

(3)

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $Q(4|-12)$.

Zeigen Sie: Die Gerade, die durch $P$ und $Q$ verläuft, tangiert den Graphen von $f$ im Punkt $Q$.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $$f(x)=(2x-1)\cdot\mathrm{e}^{2x},\ x\in\mathbb{R}.$$ In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen.

Außerdem betrachtet man die Funktion $F$ mit $$F(x)=(x-1)\cdot\mathrm{e}^{2x},\ x\in\mathbb{R},\text{ gegeben.}$$

(1)

Weisen Sie nach, dass die Funktion $F$ eine Stammfunktion von $f$ darstellt.

(2)

Die $x$-Achse wird vom Graphen der Funktion $f$ nur an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ geschnitten. Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

FE

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ p \\ q \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit $p, q \in \mathbb{R}$.

(1)

Geben Sie diejenigen Werte von $p$ und $q$ an, bei denen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ kollinear zueinander sind.

(2)

Für passende Werte von $p$ und $q$ spannen die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ein Rechteck auf. Geben Sie dafür ein Beispiel an.

(3)

Prüfen Sie, ob sich Werte für $p$ und $q$ finden lassen, für die der Vektor $\vec{u}$ die Länge 9 [LE] besitzt.

e) Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$, $r, s \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt einen Teil der Ebene E.

(1) (i)

Der in Abbildung 2 markierte Punkt $A$ liegt in der Ebene $E$. Man erhält ihn, indem man ganzzahlige Werte für die Parameter $r$ und $s$ in die Parametergleichung von $E$ einsetzt.

Geben Sie anhand von Abbildung 2 Werte für $r$ und $s$ an, für die $\vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \vec{OA}$ erfüllt ist.

(1) (ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Bereich ein, den man erhält, wenn in die Parametergleichung von $E$ für $r$ und $s$ sämtliche Werte mit $0 \le r \le 2$ und $-1 \le s \le 1$ eingesetzt werden.

(2)

Es gilt: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $r, s \in \mathbb{R}$.

Untersuchen Sie, ob die Ebene $E$ den Punkt $P(5|0|2)$ enthält.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ sei durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x)=(x+0,5)\cdot (x-0,5)\cdot\mathrm{e}^x = (x^2 - 0,25)\cdot\mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}$$

Die Funktion $g$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=(x+1)\cdot (x-1)\cdot\mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g$.

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = (x+0{,}5)\cdot(x-0{,}5)\cdot\mathrm{e}^x = (x^2 - 0{,}25)\cdot\mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}.$$

a)

(1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

$($ $\mid$

$)$

$($ $\mid$

$)$

(2)

Gegeben ist $f''(x) = (x^2 + 4\cdot x + 1{,}75)\cdot\mathrm{e}^x$. Untersuchen Sie die Funktion $f$ rechnerisch auf Wendestellen; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht verwendet werden.

$x_{w1} =$

$x_{w2} =$

(3)

(i) Weisen Sie nach, dass gilt: $f'(x) = (x^2 + 2\cdot x - 0{,}25)\cdot\mathrm{e}^x$.

(ii) Zeigen Sie rechnerisch, dass $t: y = -\mathrm{e}^{-1{,}5}\cdot x + 0{,}5\cdot\mathrm{e}^{-1{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1{,}5\mid f(-1{,}5))$ ist.

b)

Für $-1 < z < 1$ bilden die Punkte $P(-1\mid 0)$, $Q_z(z\mid g(z))$ und $R_z(z\mid 0)$ das Dreieck $PQ_zR_z$.

(1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $PQ_zR_z$ für $z = 0{,}75$ ein.

(2)

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B$ des Dreiecks $PQ_zR_z$ abhängig von $z$ durch die Gleichung

$$B(z) = -0{,}5\cdot(z+1)^2\cdot(z-1)\cdot\mathrm{e}^z$$

berechnen lässt.

(3)

Bestimmen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_zR_z$.

[FE]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ sei durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x)=(x+0,5)\cdot (x-0,5)\cdot\mathrm{e}^x = (x^2 - 0,25)\cdot\mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}$$

Die Funktion $g$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=(x+1)\cdot (x-1)\cdot\mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g$.

a) (4) Neben dem bereits bekannten Punkt haben der Graph von $f$ und die Tangente $t$ einen zweiten gemeinsamen Punkt.

(i)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$, die vom Graphen der Funktion $f$ und der Tangente $t$ begrenzt wird.

(ii)

Die Fläche $A$ reicht teilweise unter die $x$-Achse.

Bestimmen Sie, welchen prozentualen Anteil der Inhalt dieser Teilfläche am Inhalt der gesamten Fläche $A$ ausmacht.

%

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ sei durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x)=(x+0,5)\cdot (x-0,5)\cdot\mathrm{e}^x = (x^2 - 0,25)\cdot\mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}$$

Die Funktion $g$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=(x+1)\cdot (x-1)\cdot\mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g$.

c) Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung $$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot e^{x - 0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Der Graph von $h$ geht durch eine Transformation aus dem Graphen von $f$ hervor. Geben Sie diese Transformation an. [2 Punkte]

(2)

Die Graphen von $g$ und $h$ haben den Schnittpunkt $S(1 \mid 0)$ sowie einen weiteren Schnittpunkt $T$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $T$. [2 Punkte]

x:

y:

(3)

Der Graph von $f$ soll so transformiert werden, dass er den Graphen von $g$ ebenfalls in $S(1 \mid 0)$ schneidet, jedoch nicht mit dem Graphen von $h$ übereinstimmt. Beschreiben Sie eine passende Transformation und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an. [3 Punkte]

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz mit einer Dicke von $4\text{ cm}$ verwendet. $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Der Graph einer Funktion $g$ beschreibt den oberen Rand, der Graph einer Funktion $h$ den unteren Rand.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ dargestellt. Dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

In der Regel liegt eine Person so auf der Liege, dass sich im Längsschnitt die Kniekehlen etwa in dem Punkt befinden, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa in dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr so groß ist wie der Abstand dieser beiden Punkte (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten stets zwischen $-0,7$ und $0,7$ liegen (zweite Bedingung).

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie $g'(x)$ an und berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $g$; Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht genutzt werden.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen liegen bei $x = 1$ und $x = 2$.]

a) (2)

Berechnen Sie, wie weit Hochpunkt und Tiefpunkt im Modell voneinander entfernt sind.

a) (3)

Ermitteln Sie, welche Steigung der Graph von $g$ an der Wendestelle besitzt.

a) (4)

Bei einer Körpergröße von 172 cm beträgt die Oberschenkellänge im Mittel 40 cm.

Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen an eine bequeme Liege erfüllt.

Teilaufgabe c (1)

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \ge 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

c) (1)

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Gleichung der Tangente $t$.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

Teilaufgabe d

d)

Am Seitenteil wird eine Leiste $v$ parallel zur $y$-Achse befestigt (siehe Abbildung 3). Sie wird an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ angebracht, an der der vertikale Abstand (Abstand in $y$-Richtung) zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils am größten ist.

Ermitteln Sie den größten vertikalen Abstand zwischen dem oberen und dem unteren Rand des Seitenteils.

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz mit einer Dicke von $4\text{ cm}$ verwendet. $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Der Graph einer Funktion $g$ beschreibt den oberen Rand, der Graph einer Funktion $h$ den unteren Rand.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ dargestellt. Dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b)

Der untere Rand des Seitenteils wird in einem passenden Intervall durch den Graphen der Funktion $h$ dargestellt. Dabei gilt:

$h$ ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades, und ihr Graph verläuft symmetrisch zur $y$-Achse. Der Graph von $h$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0 \mid 0{,}375)$. Außerdem ist der Punkt $\left(\frac{\sqrt{10}}{2} \,\middle|\, 0\right)$ ein lokaler Tiefpunkt des Graphen von $h$.

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von $h$.

[Zur Kontrolle: $h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}3x^2 + 0{,}375$]

$h(x) =$

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz mit einer Dicke von $4\text{ cm}$ verwendet. $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Der Graph einer Funktion $g$ beschreibt den oberen Rand, der Graph einer Funktion $h$ den unteren Rand.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ dargestellt. Dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

c) (2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dafür erforderlichen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Der schraffierte Bereich hat einen Flächeninhalt von etwa 1,25 FE.]

FE

c) (3)

Berechnen Sie, welche Masse ein Seitenteil der optimierten Liege hat.

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz mit einer Dicke von $4\text{ cm}$ verwendet. $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege. Der Graph einer Funktion $g$ beschreibt den oberen Rand, der Graph einer Funktion $h$ den unteren Rand.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ dargestellt. Dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher wird für $x \ge 2{,}4$ der Graph von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

e)

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $f$ mit

$$f(x) = g(k\cdot x) = \frac{2}{3}(k\cdot x)^3 - 3(k\cdot x)^2 + 4(k\cdot x) - 0{,}7,\quad x \in \mathbb{R}.$$ Durch die Wahl eines passenden Wertes von $k$ soll mit der Funktion $f$ die Liegefläche einer Kinderliege beschrieben werden.

Begründen Sie, warum Werte von $k < 1$ dafür nicht geeignet sind. (3 Punkte)

Aufgabenstellung

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist dabei so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 10 befindet. Die $x_3$-Achse geht zudem durch die Schnittpunkte der Diagonalen beider Quadrate. Die Seitenlänge der Deckfläche beträgt 4.

Gegeben sind $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper von oben zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$$A_1(4|4|0),\; A_2(-4|4|0),\; A_4(4|-4|0),$$

$$B_1(-2|2|10),\; B_2(-2|-2|10),\; B_3(2|-2|10),\; B_4(2|2|10).$$

a)

(1) Geben Sie die Koordinaten von $A_3$ an.

(2) Berechnen Sie das Volumen dieses Pyramidenstumpfes.

VE

(3) Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Fläche $S$, in der der Pyramidenstumpf von der zur $x_1\text{-}x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 5 geschnitten wird.

[Zur Kontrolle: $F_S = 36\text{ FE}$]

FE

b)

(2) Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{A_1B_1}$ und $\overline{A_1A_2}$ einschließen.

°

(3) Der Punkt $H_1(1|3|5)$ liegt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ in der Höhe 5. Ebenso liegen $H_2(-3|1|5)$, $H_3$ und $H_4$ in der Höhe 5 auf den Kanten $\overline{A_2B_2}$, $\overline{A_3B_3}$ bzw. $\overline{A_4B_4}$. Diese vier Punkte bilden das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$, dessen Flächeninhalt kleiner ist als $F_S$.

Bestimmen Sie rechnerisch, um wie viel Prozent der Flächeninhalt abgenommen hat.

%

c)

(2) Für die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ liegt die folgende, nur teilweise dokumentierte Rechnung vor:

(I) $\vec{OP} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad r, s \in \mathbb{R}$.

(II) $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \begin{pmatrix} 8 - 6r - 2s \\ -2r + 6s \\ -10r + 10s \end{pmatrix}$.

(III) $\begin{cases} \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \\ \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{pmatrix} 8 - 6r - 2s \\ -2r + 6s \\ -10r + 10s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \\ \begin{pmatrix} 8 - 6r - 2s \\ -2r + 6s \\ -10r + 10s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} r = \dots \\ s = \dots \end{cases}$

(IV) Einsetzen von $r = \dots$ und $s = \dots$ in $\vec{PQ}$ liefert den Vektor $\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}$.

(V) $\left| \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix} \right| = \frac{4\cdot\sqrt{6}}{3} \approx 3{,}27$.

(i) Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III).

(ii) Interpretieren Sie den Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch.

Aufgabenstellung

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist dabei so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 10 befindet. Die $x_3$-Achse geht zudem durch die Schnittpunkte der Diagonalen beider Quadrate. Die Seitenlänge der Deckfläche beträgt 4.

Gegeben sind $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 ist dieser Körper von oben zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$$A_1(4|4|0),\; A_2(-4|4|0),\; A_4(4|-4|0),$$

$$B_1(-2|2|10),\; B_2(-2|-2|10),\; B_3(2|-2|10),\; B_4(2|2|10).$$

b)

(1) Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$.

(i)

Stellen Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Parameterform auf.

(ii)

Untersuchen Sie durch Rechnung, ob $B_2$ ein Punkt der Ebene $E$ ist.

Ja

Nein

c)

Die Kante $\overline{A_3B_3}$ liegt in der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$, und die Kante $\overline{A_4B_4}$ liegt in der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von manchen dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende ohne gespeichertes Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen, und zwar von Zielpersonen ebenso wie von Kontrollpersonen, mit den Fotos der Datenbank.

a) Während dieser Testphase erkennt die Software eine Zielperson in einem Video mit einer Wahrscheinlichkeit von $80\,\%$ korrekt als Zielperson. Im Weiteren wird diese Wahrscheinlichkeit Trefferwahrscheinlichkeit genannt.

Eine Kontrollperson wird mit einer Wahrscheinlichkeit von $0{,}1\,\%$ irrtümlich als Zielperson klassifiziert.

$10\,\%$ der in der Testphase verwendeten Videos zeigen Zielpersonen.

(1)

Erstellen Sie für die beschriebene Situation ein zweistufiges Baumdiagramm mit Beschriftung.

(2) (i)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Software die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson einstuft.

(2) (ii)

Die Software stuft die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson ein.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei dieser Person in Wirklichkeit um eine Kontrollperson handelt.

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von manchen dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende ohne gespeichertes Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen, und zwar von Zielpersonen ebenso wie von Kontrollpersonen, mit den Fotos der Datenbank.

b) Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Aussagen über die Qualität ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

Durch die Software wird in 50 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen in mehr als 40 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson eingestuft.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich bei 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die Zahl der Videos mit richtig als Zielperson erkannter Person um höchstens 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert unterscheidet.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig gewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens zehn dieser Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkannt wird.

d)

Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit – in Prozent ohne Nachkommastelle –, die eine Gesichtserkennungssoftware haben muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ bei mindestens 90 von 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkannt wird.

%

Mit Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit hinreichend groß, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von manchen dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende ohne gespeichertes Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Während einer Testphase vergleicht die Software Videos einzelner Personen, und zwar von Zielpersonen ebenso wie von Kontrollpersonen, mit den Fotos der Datenbank.

c)

Auch ein weiterer Hersteller vertreibt eine Gesichtserkennungssoftware. Nach dessen Angabe liegt die Trefferwahrscheinlichkeit dieser Software bei 90 %.

Eine Sicherheitsingenieurin möchte diese Herstellerangabe untersuchen. Hierzu lässt sie 100 zufällig ausgewählte Videos von Zielpersonen durch die Software überprüfen. Wenn hierbei in mindestens 95 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson eingestuft wird, wird die Sicherheitsingenieurin davon ausgehen, dass die Herstellerangabe zutrifft.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ingenieurin die Herstellerangabe als zutreffend ansieht, obwohl die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit der Software lediglich 86 % beträgt.

[2 Punkte]

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern einige Wirbel eine Krümmung bilden (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern ist diese Krümmung zu sehen. Anhand der Aufnahmen wird entschieden, wie die Behandlung fortgesetzt wird.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $0 \le x \le 5$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x + 1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sieht man das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

a)

(1)

Zeigen Sie: $f'(x) = (-0{,}6x^2 + x) \cdot e^{-1{,}2x + 1{,}2}$.

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die Koordinaten beider Extrempunkte des Graphen von $f$ und deren Art; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht benutzt werden.

Deuten Sie die y-Koordinate des Hochpunkts im Zusammenhang mit der Sachsituation.

(2)

Berechnen Sie eine Gleichung der Tangente $t_1$, die den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_1(0{,}49|0{,}22)$ berührt.

[Zur Kontrolle: $t_1: y = 0{,}64x - 0{,}09$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).]

Die Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_2(2{,}85|0{,}44)$ hat die Gleichung $t_2: y = -0{,}22x + 1{,}07$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).

(3)

Zur Entscheidung über das weitere Vorgehen bei der Behandlung ermittelt man den Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$, den sogenannten Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Einer Studie zufolge wird üblicherweise zu einer Operation geraten, wenn der Cobb-Winkel über $50^\circ$ liegt; ansonsten ist das Tragen eines Korsetts angezeigt.

Der Cobb-Winkel $\alpha$ kann mit der Formel

$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$

berechnet werden, wobei $m_1$ bzw. $m_2$ die Steigungen der Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ sind.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose eine Operation als Behandlung empfohlen wird.

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern einige Wirbel eine Krümmung bilden (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern ist diese Krümmung zu sehen. Anhand der Aufnahmen wird entschieden, wie die Behandlung fortgesetzt wird.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $0 \le x \le 5$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x + 1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sieht man das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

b) Für den größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, wird bei der Herstellung eines Korsetts ein spezielles Material eingesetzt. Die Fläche, auf der dieses spezielle Material zum Einsatz kommt, ist in Abbildung 4 schraffiert gekennzeichnet.

(1)

Berechnen Sie, in welchen Punkten die Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ die $x$-Achse schneiden.

$S_1($

$| 0)$

$S_2($

$| 0)$

(2)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, auf der das spezielle Material zum Einsatz kommt.

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern einige Wirbel eine Krümmung bilden (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenbildern ist diese Krümmung zu sehen. Anhand der Aufnahmen wird entschieden, wie die Behandlung fortgesetzt wird.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $0 \le x \le 5$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x + 1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sieht man das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

c)

Ein Arzt erwägt, anstelle des Cobb-Winkels zwischen den Tangenten in den Wendepunkten den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Rändern der Wirbel zu betrachten, auf denen die Wendepunkte liegen.

Dabei wird anstelle der Tangente in $W_1$ die Tangente im Punkt $P_1$ genommen, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Entsprechend dient anstelle der Tangente in $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 5).

Beurteilen Sie ohne zusätzliche Rechnung, ob der Winkel durch diese Änderung größer oder kleiner wird.

[2 Punkte]