Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung: Modellierung eines Staus an einer Autobahnbaustelle

An einer Autobahnbaustelle bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig aufgelöst. Die momentane Änderungsrate der Staulänge lässt sich für diesen Tag vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Neben $f$ spielt im Sachzusammenhang auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4 - x)^3$$ eine Rolle.

Außerdem wird die Funktionenschar $l_{a;b}$ betrachtet, deren Funktionen in $\mathbb{R}$ definiert sind, mit

$$l_{a;b}(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^3 \quad \text{und } a, b \in \mathbb{R},\ a > 0,\ b > 0.$$ Eine Verkehrszentrale beobachtet den Autobahnverkehr der Region. Ihre Computersysteme empfangen fortlaufend Sensor- und Kameradaten, die eine Software auswertet.

Die Software beschreibt Staulängen durch die Funktionen $l_{a;b}$. Dabei bezeichnet $x$ mit $0 \leq x \leq b$ die seit der Entstehung des Staus vergangene Zeit in Stunden und $l_{a;b}(x)$ die Staulänge in Kilometer.

Neben der Funktion $f$ spielt im Sachzusammenhang auch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4-x)^3$$ eine Rolle.

(5)

Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussage:

Die Staulänge in Kilometern kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Stau um 10:00 Uhr vollständig verschwunden ist.

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Berechnen Sie, um wie viel die Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr zunimmt, und bestimmen Sie die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge in diesem Zeitraum.

(7)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, an dem der Stau 0,5 km kürzer ist als eine Stunde zuvor.

(8)

Für einen anderen Tag zeigt der Graph in Abbildung 1 die momentane Änderungsrate der Staulänge von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Dabei bezeichnet $x$ die seit 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate in Kilometer pro Stunde.

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Zu einem anderen Zeitpunkt ist der Stau genauso lang.

Markieren Sie diesen Zeitpunkt näherungsweise in Abbildung 1 und begründen Sie Ihr Vorgehen.