Abitur NRW Mathematik 2023 · LK · Teil B · Analysis (CAS)

Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.

An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$ beschrieben werden. Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4 - x)^3$ von Bedeutung.

a)

Nennen Sie die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründen Sie anhand der Struktur des Funktionsterms von $f$, dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt. [3 BE]

b)

Es gilt $f(2) < 0$. Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an. [1 BE]

c)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt. Zeigen Sie, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate zwischen $2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und $3\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ liegt. [3 BE]

d)

Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründen Sie Ihre Angabe. [2 BE]

Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.

An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit $f(x) = x \cdot (8 - 5x) \cdot \left(1 - \frac{x}{4}\right)^2$ beschrieben werden. Dabei gibt $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $f(x)$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4 - x)^3$ von Bedeutung.

Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion $f$ die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit $s(x)=\left(\frac{x}{4}\right)^2\cdot(4-x)^3$ von Bedeutung.

e)

Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Bestätigen Sie rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.

f)

Berechnen Sie die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.

g)

Bestimmen Sie denjenigen Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, zu dem die Staulänge 0,5 km geringer ist als eine Stunde vorher.

h)

Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 1 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist $x$ die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und $y$ die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markieren Sie diesen Zeitpunkt in der Abbildung 1, begründen Sie Ihre Markierung und veranschaulichen Sie Ihre Begründung in der Abbildung 1.

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_k(x) = (x - 3)^k + 1$ und $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$.

a)

Das Verhalten von $h_k$ für $x \to -\infty$ ist abhängig von $k$. Geben Sie die dabei auftretenden Fälle des Verhaltens und für diese Fälle jeweils einen passenden Wert von $k$ an. Begründen Sie jeweils die Angabe des Werts von $k$.

$\lim_{x \to -\infty} h_k(x) =$

$\lim_{x \to -\infty} h_k(x) =$

b)

Ermitteln Sie die Koordinaten derjenigen Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

Erster Punkt: $P_1$ = (

|

)

Zweiter Punkt: $P_2$ = (

|

)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_k(x) = (x - 3)^k + 1$ und $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$.

c

Die erste Ableitungsfunktion von $h_k$ wird mit $h'_k$ bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt genau einen Wert von $k$, für den der Graph von $h'_k$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist.

d

Die Graphen von $h_k$ und $h'_k$ werden in der Abbildung 2 für $k = 4$ beispielhaft für gerade Werte von $k$ gezeigt, in der Abbildung 3 für $k = 5$ beispielhaft für ungerade Werte von $k$.

Für $k \ge 4$ werden die Punkte $P(4 \mid h_k(4))$, $Q(4 \mid h'_k(4))$, $R(2 \mid h_k(2))$ und $S(2 \mid h'_k(2))$ betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks. Begründen Sie, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeigen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Für jeden geraden Wert von $k$ mit $k \ge 4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k + 1$ überein.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto e^x \cdot (x - a)^2$ mit $a \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet. Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt. Die Abbildung 1 zeigt $G_{\frac{3}{2}}$.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a,b}: x \mapsto e^x \cdot \left((x - a + b)^2 - b\right)$ mit $a, b \in \mathbb{R}$. Es gilt $f_{a,0}(x) = f_a(x)$. Der Graph von $f_{a,b}$ wird mit $G_{a,b}$ bezeichnet.

a)

$\mathrm{G}_{\frac{3}{2}}$ nimmt in einem seiner Wendepunkte seine kleinste Steigung an. Bestimmen Sie diese Steigung rechnerisch.

b)

$\mathrm{G}_a$ hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt. Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an und begründen Sie, dass der gemeinsame Punkt mit der x-Achse der Tiefpunkt von $\mathrm{G}_a$ ist.

d)

Für jeden Wert von a mit $a \ne 0$ schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte von $\mathrm{G}_a$ mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechnen Sie denjenigen Wert von a, für den dieses Dreieck gleichschenklig ist.

g)

Für jeden Wert von a gilt $f_{a,0}(a) = 0 \wedge f_{a,1}(a) = 0 \wedge f_{a,2}(a) \ne 0$. Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Funktionen $f_{a,-1}$ an.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto e^x \cdot (x - a)^2$ mit $a \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet. Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt. Die Abbildung 1 zeigt $G_{\frac{3}{2}}$.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a,b}: x \mapsto e^x \cdot \left((x - a + b)^2 - b\right)$ mit $a, b \in \mathbb{R}$. Es gilt $f_{a,0}(x) = f_a(x)$. Der Graph von $f_{a,b}$ wird mit $G_{a,b}$ bezeichnet.

c)

Es gibt einen positiven Wert von $a$, für den $G_a$ und die Koordinatenachsen eine Fläche mit dem Inhalt 3 einschließen. Bestimmen Sie diesen Wert von $a$.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto e^x \cdot (x - a)^2$ mit $a \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet. Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt. Die Abbildung 1 zeigt $G_{\frac{3}{2}}$.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a,b}: x \mapsto e^x \cdot \left((x - a + b)^2 - b\right)$ mit $a, b \in \mathbb{R}$. Es gilt $f_{a,0}(x) = f_a(x)$. Der Graph von $f_{a,b}$ wird mit $G_{a,b}$ bezeichnet.

e)

Für positive Werte von b hat $\mathrm{G}_{a,b}$ zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Für jeden Wert von a wird der Abstand dieser beiden Schnittpunkte betrachtet. Zeigen Sie rechnerisch, dass dieser Abstand unabhängig von a ist.

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto e^x \cdot (x - a)^2$ mit $a \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet. Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt. Die Abbildung 1 zeigt $G_{\frac{3}{2}}$.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a,b}: x \mapsto e^x \cdot \left((x - a + b)^2 - b\right)$ mit $a, b \in \mathbb{R}$. Es gilt $f_{a,0}(x) = f_a(x)$. Der Graph von $f_{a,b}$ wird mit $G_{a,b}$ bezeichnet.

Erhöht man im Term von $f_{a,b}$ den Wert von $b$ um 1, so erhält man einen Term der ersten Ableitungsfunktion von $f_{a,b}$. Es gilt also $f'_{a,b}(x) = f_{a,b+1}(x)$.

f

Die Abbildung 2 zeigt für einen bestimmten Wert von $a$ die Graphen zweier Funktionen der Schar, bei denen sich die Werte von $b$ um 1 unterscheiden.

Entscheiden Sie, welcher der beiden Graphen I und II zum größeren Wert von $b$ gehört, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

Der Schalldruckpegel eines bestimmten Wecktons wird durch die in $[0; 4]$ definierte Funktion

$$h: x \mapsto \begin{cases} 20 \cdot \sin x & \text{für } 0 \le x \le 2 \\ 20 \cdot \sin(x - 2) + 20 \cdot \sin 2 & \text{für } 2 < x \le 4 \end{cases}$$

beschrieben. Dabei ist $x$ die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden und $h(x)$ der Schalldruckpegel in Dezibel (dB). Die Abbildung 3 zeigt einen Teil des Graphen von $h$.

a)

Zeigen Sie, dass der Graph von $h$ bei $x = 2$ keinen Sprung aufweist, und vervollständigen Sie den Graphen von $h$ in der Abbildung 3.

d)

Dem Graphen von $h$ ist zu entnehmen, dass der Weckton bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand. Bestimmen Sie rechnerisch den größten dieser Abstände.

Der Schalldruckpegel eines bestimmten Wecktons wird durch die in $[0; 4]$ definierte Funktion

$$h: x \mapsto \begin{cases} 20 \cdot \sin x & \text{für } 0 \le x \le 2 \\ 20 \cdot \sin(x - 2) + 20 \cdot \sin 2 & \text{für } 2 < x \le 4 \end{cases}$$

beschrieben. Dabei ist $x$ die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden und $h(x)$ der Schalldruckpegel in Dezibel (dB). Die Abbildung 3 zeigt einen Teil des Graphen von $h$.

b

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat, und geben Sie diesen Schalldruckpegel an.

Der Schalldruckpegel eines bestimmten Wecktons wird durch die in $[0; 4]$ definierte Funktion

$$h: x \mapsto \begin{cases} 20 \cdot \sin x & \text{für } 0 \le x \le 2 \\ 20 \cdot \sin(x - 2) + 20 \cdot \sin 2 & \text{für } 2 < x \le 4 \end{cases}$$

beschrieben. Dabei ist $x$ die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden und $h(x)$ der Schalldruckpegel in Dezibel (dB). Die Abbildung 3 zeigt einen Teil des Graphen von $h$.

c

Berechnen Sie unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von $h$.

Der durchschnittliche Funktionswert von $h$ im Intervall $[a; b]$ stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:

Das Rechteck hat die Breite $b - a$.

Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für $a \le x \le b$ zwischen dem Graphen von $h$ und der x-Achse liegt.