Aufgabe B5 - Teilaufgabe a (1) bis (3) · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils am oberen Pfeilerende sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Die Abspannseile sind jeweils am Fahrbahnende befestigt.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse liegt in der Seitenansicht auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

a)

Der Verlauf des Abspannseils im rechten Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$ beschrieben.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gesamtlänge der Brückenfahrbahn 640 m beträgt.

(2)

Im Modell lässt sich der Verlauf des Abspannseils auch im linken Brückenabschnitt mithilfe eines Funktionsterms darstellen.

Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ an und nennen Sie das Intervall, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über der Wasseroberfläche aufragen.