Aufgabe B2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor, lediglich die Abfolge darf variiert werden. Betrachtet wird stets nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der genannten Reihenfolge durch, ergibt sich der Graph der Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$ In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres verstrichen ist, und $g(x)$ für die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur für einen anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres dar.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit $$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \ a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$$ modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

a) (1)

Begründen Sie, dass der Graph $G_f$ punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt verläuft.

Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, in denen $G_f$ die Koordinatenachsen schneidet.

b)

Ausgehend von $G_f$ werden durch drei Schritte neue Graphen erzeugt. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte wird genau einmal durchgeführt, lediglich die Reihenfolge ist variabel. Betrachtet wird stets nur der Graph, der nach allen drei Schritten entsteht.

Geben Sie an, wie viele unterschiedliche neue Graphen sich auf diese Weise aus $G_f$ erzeugen lassen. Begründen Sie Ihre Angabe.

c) (1)

Ermitteln Sie, für welche Dauer die Tagesdurchschnittstemperatur an dem Ort im Laufe eines Jahres oberhalb von $15^\circ\text{C}$ liegt.