Aufgabe 3 (b–c) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Für jeden Wert von $a \in \mathbb{R}$ ist eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w_a: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + a$ gegeben. Unabhängig von $a$ sind $0$ und $3$ die einzigen Extremstellen von $w_a$. Die Funktion $w_4$ ist die in der Aufgabe 2 betrachtete Funktion $w$, die obige Abbildung zeigt also den Graphen von $w_4$.

b

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den der Mittelpunkt der Strecke zwischen den beiden Extrempunkten des Graphen von $w_a$ auf der x-Achse liegt.

c

Berechnen Sie den Wert des Terms $w_4(3)$. Geben Sie alle Werte von $a$ an, für die $w_a$ genau eine Nullstelle hat.