Aufgabe B5 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

Aufgabenstellung:

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern ein Teil der Wirbel eine Krümmung bildet (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen lässt sich diese Krümmung erkennen und anhand der Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Ein Abschnitt der Wirbelsäule eines Skoliose-Patienten wird für $-2 \le x \le 2$ durch die Funktion $f$ beschrieben mit

$$f(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-x^2},\; x \in \mathbb{R}.$$ Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Die $x$-Achse stellt den geraden Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose dar.

Abbildung 2 zeigt das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$:

a)

(1) Zeigen Sie: $f'(x) = -1{,}6x \cdot \mathrm{e}^{-x^2}$.

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die Koordinaten des Hochpunkts am Graphen von $f$.

Deuten Sie die $y$-Koordinate des Hochpunkts bezogen auf den Sachkontext.

(2) (i) Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass der Graph von $f$ symmetrisch bezüglich der $y$-Achse verläuft.

Der Punkt $W_1\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \;\middle|\; f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\right)$ ist der Wendepunkt des Graphen von $f$ im II. Quadranten.

(ii) Zeigen Sie, dass die Gerade $t_1$ mit $t_1: y = 0{,}8 \cdot \sqrt{2} \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5} \cdot x + 1{,}6 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $W_1$ ist.

(iii) Geben Sie den zweiten Wendepunkt $W_2$ und eine Gleichung der Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Punkt $W_2$ an.

Um über weitere Behandlungsschritte zu entscheiden, wird der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$ bestimmt, der sogenannte Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Cobb-Winkel von mehr als $70^\circ$ können als Nebenwirkung zu Kurzatmigkeit führen. Laut einer Studie ist bei einem Cobb-Winkel von kleiner als $70^\circ$ nicht von einer Beeinträchtigung der Atemwege auszugehen.

(3) Der Cobb-Winkel kann mit der Formel

$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$

aus den Steigungen $m_1$ bzw. $m_2$ der Wendetangenten $t_1$ bzw. $t_2$ berechnet werden.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose von einer Beeinträchtigung der Atemwege auszugehen ist.

^\circ

c)

Für einige weitere Skoliose-Patienten konnte der Verlauf der Wirbelsäule durch eine Funktion $h_k$ mit

$$h_k(x) = 0{,}8 \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x^2}, \quad k > 0, \; x \in \mathbb{R}$$

beschrieben werden.

In einem vereinfachten Ansatz zur Analyse der Skoliose soll die maximale Steigung des Graphen der Funktion $h_k$ betrachtet werden. Diese liegt an der Stelle $x_W = -\frac{1}{\sqrt{2k}}$ vor.

Wenn die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$, ist ein besonderes Therapieprogramm erforderlich.

(1) Berechnen Sie $h_k'(x)$ und bestimmen Sie die maximale Steigung des Graphen von $h_k$ abhängig von $k$.

(2) Ermitteln Sie, für welche Werte von $k > 0$ die maximale Steigung größer ist als $0{,}84$.

d)

Ein Arzt überlegt, nicht den Cobb-Winkel zwischen den Tangenten in den Wendepunkten zu verwenden, sondern stattdessen den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten der Wirbel, auf denen die Wendepunkte liegen.

Das bedeutet: Statt der Tangente im Punkt $W_1$ wird die Tangente im Punkt $P_1$ verwendet, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Ebenso wird statt der Tangente im Punkt $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$ verwendet, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 6).

Beurteilen Sie ohne zusätzliche Rechnung, ob diese Änderung zu einem größeren oder einem kleineren Winkelwert führt.