Aufgabe 1 (MMS 2) - Längen, Winkel und Körper · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2023

a Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD ein Trapez ist, in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind, und dass dieses Trapez kein Rechteck ist.

Lösung: Sowohl A und B als auch C und D haben übereinstimmende $x_1$- und $x_3$-Koordinaten, $\vec{AB}$ und $\vec{CD}$ sind also parallel. Außerdem gilt $|\vec{AD}| = |\vec{BC}|$ sowie $\vec{AB} \circ \vec{AD} = 6 \neq 0$.

b Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD.

Lösung: $10\sqrt{5}$

f Geben Sie für diesen Wert von t die Art des Vierecks ABC'_t D'_t an

Lösung: Rechteck

f Begründen Sie Ihre Angabe zur Art des Vierecks ABC'_t D'_t.

Lösung: Die Gleichungen I und II liefern denjenigen Wert von $t$, für den $\vec{BC}'_t$ senkrecht zu $\vec{AB}$ steht. Da das Viereck $ABCD$ symmetrisch bezüglich der Ebene mit der Gleichung $x_2 = 6$ ist und $S_t$ in dieser Ebene liegt, steht dann auch $\vec{AD}'_t$ senkrecht zu $\vec{AB}$ und ist $\vec{C'_t D'_t}$ parallel zu $\vec{AB}$.

g Geben Sie diesen Graphen an

Lösung: $G_2$

g Begründen Sie Ihre Angabe zum Graphen.

Lösung: Für $t \to 4$ wird der Inhalt der Grundfläche der Pyramide beliebig groß, während die Höhe stets größer als 4 ist. Für $t \to +\infty$ wird die Höhe beliebig groß, während der Inhalt der Grundfläche stets größer ist als der Inhalt des Vierecks mit den Eckpunkten A, B, $(2|8|0)$ und $(2|4|0)$. Damit wird das Volumen in beiden Fällen beliebig groß.