Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine Krümmung bilden (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen ist diese Krümmung sichtbar. Anhand dieser Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Für $0 \le x \le 5$ beschreibt die Funktion $f$ modellhaft den Verlauf eines Wirbelsäulenabschnitts bei einem Patienten mit Skoliose:

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x + 1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sind der Graph von $f$ und das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zu sehen.

b) Für einen Großteil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, kommt bei der Herstellung eines Korsetts ein spezielles Material zum Einsatz. Die Fläche mit diesem speziellen Material ist in Abbildung 4 schraffiert eingezeichnet.

(1)

Berechnen Sie, in welchen Punkten die Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ die $x$-Achse schneiden.

$S_1($

$|\ 0)$

$S_2($

$|\ 0)$

(2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der mit dem speziellen Material ausgestattet wird.