Aufgabe d · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in \mathbb{R},\; a > 1$. $f$ besitzt die Nullstellen $0$ und $2a$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird, den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ besitzt. [2 Punkte]

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich auf einer Seite eines Quadrats, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen (vgl. Abbildung 2).

Das Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.

Bestimmen Sie $a$. [3 Punkte]