Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

Mitarbeitende eines Tourismusinstituts befragten repräsentativ $10\,000$ Personen einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen gelangt waren.

Es zeigte sich: $26\,\%$ der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei $16\,\%$ von ihnen reiste man mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) nutzte man in $10\,\%$ der Fälle die Bahn für die Anreise.

Die Prozentwerte sollen nachfolgend als Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse gelten.

b) Die Befragung wird erweitert: Hierfür werden zufällig 20 der Fragebögen zu den Urlaubsreisen herausgegriffen, und mit den jeweiligen Befragten werden Interviews geführt.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele der 20 Urlaubsreisen Inlandsreisen sind.

(1)

Erläutern Sie, weshalb sich $P(X=k)$ für $0 \leq k \leq 20$ näherungsweise mithilfe einer Binomialverteilung berechnen lässt.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 20 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind.

(3)

Bestimmen Sie für die 20 Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der Inlandsreisen innerhalb der $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt.

c) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Fragebögen, die ausgewählt werden muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ bei mindestens fünf dieser Fragebögen eine Auslandsreise angegeben ist.