Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2023

In Abbildung 1 wird ein Pyramidenstumpf gezeigt. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Schnittpunkte der Diagonalen beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

In Abbildung 2 wird ein Körper gezeigt, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. Abbildung 3 stellt diesen Körper in der Ansicht von oben dar. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $A_3$ an. [1 Punkt]

$A_3($

$|$

$|$

$)$

a) (2)

Berechnen Sie das Volumen des gegebenen Pyramidenstumpfes. [2 Punkte]

VE

a) (3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Schnittfläche $S$, die entsteht, wenn der Pyramidenstumpf in der Höhe 5 von einer zur $x_1\text{-}x_2$-Ebene parallelen Ebene geschnitten wird. [3 Punkte]

[Zur Kontrolle: $F_S = 36\text{ FE}$]

FE

Teilaufgabe b

b) (2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{A_1B_1}$ und $\overline{A_1A_2}$ einschließen. [2 Punkte]

°

b) (3)

Der Punkt $H_1(1\mid 3\mid 5)$ liegt in der Höhe 5 auf der Kante $\overline{A_1B_1}$. Ebenfalls in der Höhe 5 liegen $H_2(-3\mid 1\mid 5)$, $H_3$ und $H_4$ auf den Kanten $\overline{A_2B_2}$, $\overline{A_3B_3}$ bzw. $\overline{A_4B_4}$. Sie bilden das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$, dessen Flächeninhalt kleiner ist als $F_S$.

Bestimmen Sie rechnerisch, um wie viel Prozent der Flächeninhalt kleiner geworden ist. [2 Punkte]

%

Teilaufgabe c

c) (2) (i)

Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III). [2 Punkte]

c) (2) (ii)

Interpretieren Sie, was der Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch bedeutet. [2 Punkte]