Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor; lediglich die Abfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der oben genannten Reihenfolge aus, ergibt sich der Graph der betrachteten Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14.$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort dar, beginnend an einem bestimmten Tag des Kalenderjahres.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e,\quad x \in \mathbb{R},\ a,b,c,d,e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Teilaufgabe a) (3)

Der Graph $G_f$ besitzt zwei Extrempunkte. Zeigen Sie, dass es sich bei einem davon um einen Tiefpunkt mit der $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ handelt.

Teilaufgabe a) (4)

Bestimmen Sie eine Gleichung für die Tangente $t$, die $G_f$ im Punkt $P(6 \mid f(6))$ berührt.

Teilaufgabe c) (2)

Geben Sie die Stelle an, an der $g$ einen Wendepunkt hat.

Beschreiben Sie, was diese Wendestelle für den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur bedeutet.

Teilaufgabe c) (3)

Die folgenden Rechnungen stellen zusammen mit Abbildung 1 die Lösung einer Aufgabe in einem Sachzusammenhang dar:

$$g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 6 - \sqrt{12} \;\lor\; x = 6 + \sqrt{12}$$

$$g(6 + \sqrt{12}) - g(6 - \sqrt{12}) \approx 6{,}2$$

Geben Sie eine dazu passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den gezeigten Lösungsweg.