Abitur NRW Mathematik 2023 · LK · Haupttermin · GTR

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

a) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5, x \in \mathbb{R},$$

und

$$g(x)=-3\cdot x+5, x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ einen gemeinsamen Punkt haben.

(2)

Einer der gemeinsamen Punkte der beiden Graphen ist der Punkt $P(3 \mid f(3))$.

Zeigen Sie: Im Punkt $P$ berührt der Graph von $g$ den Graphen von $f$ als Tangente.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

(1)

Geben Sie die Wertemenge der Funktion $f$ an.

[Zur Wertemenge von $f$ gehören sämtliche Zahlen, die $f$ als Funktionswerte annimmt.]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

(2)

Die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ erfüllt $f'(x)=2x\cdot f(x)$.

Die Graphen von $f$ und $f'$ haben genau einen gemeinsamen Punkt.

Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f$ an dieser Stelle.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

c) Gegeben ist eine auf $\mathbb{R}$ definierte, nicht lineare ganzrationale Funktion $f$ mit der ersten Ableitungsfunktion $f'$ und der zweiten Ableitungsfunktion $f''$. Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.

Es gilt $f'(x_2) = 0$ und $f''(x_2) \neq 0$.

$f'$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$.

In Abbildung 1 sind die Lagen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ dargestellt.

(1)

Begründen Sie, dass $f$ mindestens den Grad 3 hat. [2 Punkte]

(2)

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen denkbaren Verlauf des Graphen von $f$. [3 Punkte]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

d) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird, den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ besitzt. [2 Punkte]

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich auf einer Seite eines Quadrats, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen (vgl. Abbildung 2).

Das Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Bestimmen Sie $a$. [3 Punkte]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

Gegeben ist die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gerade $g$ vollständig in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ enthalten ist. [2 Punkte]

(2)

Zusätzlich ist die Geradenschar $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$.

Weisen Sie nach, dass $g$ und $h_a$ unabhängig vom Wert von $a$ windschief sind. [3 Punkte]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

(1)

Betrachtet wird das folgende Gleichungssystem:

$$\begin{aligned} \text{I} & & 2x & & & + & z & = 0 \\ \text{II} & & & - & 2y & + & 4z & = 0 \\ \text{III} & & & & 2y & - & 5z & = 1 \end{aligned}$$ mit $x, y, z \in \mathbb{R}$.

Berechnen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems. [3 Punkte]

(2)

Es existiert ein Wert $r$ mit $r \in \mathbb{R}$, bei dem das Gleichungssystem

$$\begin{aligned} \text{I} & & 2x & & & + & z & = 0 \\ \text{II} & & & - & 2y & + & 4z & = 0 \\ \text{III} & & & & 2y & - & r \cdot z & = 1 \end{aligned}$$ mit $x, y, z \in \mathbb{R}$ unlösbar ist.

Ermitteln Sie diesen Wert. [2 Punkte]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x)=\frac{1}{2}x^3 - 3x^2 + \frac{3}{2}x + 5, \quad x \in \mathbb{R},$$

und

$$g(x)=-3x+5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie die Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. berühren.

(2)

Unter diesen gemeinsamen Punkten befindet sich $P(3\mid f(3))$.

Zeigen Sie: Im Punkt $P$ stellt der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ dar.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

(1)

Geben Sie die Menge aller Funktionswerte von $f$ an. [2 Punkte]

[Die Wertemenge von $f$ besteht aus allen Zahlen, die als Funktionswerte von $f$ vorkommen.]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

(2)

Die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ erfüllt $f'(x)=2x\cdot f(x)$. Die Graphen von $f$ und $f'$ haben genau einen gemeinsamen Punkt. Bestimmen Sie, welche Steigung der Graph von $f$ in diesem Punkt hat. [3 Punkte]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

Gegeben ist eine auf $\mathbb{R}$ definierte, nicht lineare ganzrationale Funktion $f$ mit der ersten Ableitungsfunktion $f'$ und der zweiten Ableitungsfunktion $f''$. Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.

Es gilt $f'(x_2) = 0$ und $f''(x_2) \neq 0$.

$f'$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$.

In Abbildung 1 sind die Lagen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ dargestellt.

(1)

Begründen Sie, warum $f$ mindestens den Grad 3 haben muss.

(2)

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen denkbaren Verlauf des Graphen von $f$.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird, den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ besitzt.

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich auf einer Seite eines Quadrats, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen (vgl. Abbildung 2).

Das Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Bestimmen Sie den Wert von $a$.

$a =$

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

e) (1)

$X$ sei eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern $n$ und $p$. Der Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ betragen $\mu = 60$ und $\sigma = 6$.

Berechnen Sie $p$ und $n$.

e) (2)

Eine Urne enthält $4$ schwarze und $6$ weiße Kugeln. Es wird $150$-mal mit Zurücklegen eine Kugel aus der Urne gezogen.

(i) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass genau $60$-mal eine schwarze Kugel gezogen wird.

(ii) Beschreiben Sie ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch $$0{,}4^5 \cdot \binom{145}{55} \cdot 0{,}4^{55} \cdot 0{,}6^{90}$$ gegeben ist.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

Teilaufgabe f

(1) Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit $n = 10$.

Abbildung 3 zeigt das Histogramm dieser Verteilung, das nicht vollständig ist.

Bekannt ist: $P(X \ge 4) \approx 0{,}35$.

(i)

(ii)

(2) Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 4-1 bis 4-3 zeigen Ausschnitte aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen von drei binomialverteilten Zufallsgrößen $A$, $B$ und $C$.

Für die Parameter $n$ und $p$ dieser Zufallsgrößen kommen folgende Werte vor:

$n = 10$ und $p = 0{,}2$

$n = 10$ und $p = 0{,}4$

$n = 40$ und $p = 0{,}1$

Ordnen Sie jedem der Histogramme I bis III die passenden Werte für $n$ und $p$ zu und begründen Sie die Zuordnung.

I:

Histogramm I:

II:

Histogramm II:

III:

Histogramm III:

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit$$f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5,\; x\in\mathbb{R},$$und$$g(x)=-3\cdot x+5,\; x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie die Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte besitzen.

(2)

Der Punkt $P(3\mid f(3))$ zählt zu diesen gemeinsamen Punkten. Zeigen Sie: Der Graph von $g$ stellt im Punkt $P$ die Tangente an den Graphen von $f$ dar.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

(1)

Geben Sie die Wertemenge der Funktion $f$ an.

[Zur Wertemenge von $f$ gehören sämtliche Zahlen, die $f$ als Funktionswerte annimmt.]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

(2)

Die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ erfüllt die Gleichung $f'(x)=2x\cdot f(x)$.

Die Graphen von $f$ und $f'$ schneiden sich in einem Punkt.

Bestimmen Sie die Steigung, die der Graph von $f$ in diesem Punkt besitzt.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

Gegeben ist eine auf $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale Funktion $f$, die nicht linear ist, mit der ersten Ableitung $f'$ und der zweiten Ableitung $f''$. Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.

Es gilt $f'(x_2)=0$ und $f''(x_2) \neq 0$.

$f'$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$.

In Abbildung 1 sind die Lagen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ dargestellt.

(1)

Begründen Sie, dass $f$ mindestens den Grad 3 besitzt. [2 Punkte]

(2)

Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen von $f$ in Abbildung 1. [3 Punkte]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2+2ax$ mit $a \in \mathbb{R},\ a > 1$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird, den Flächeninhalt $\frac{4}{3}a^3$ besitzt. [2 Punkte]

(2)

Ein Quadrat hat zwei Seiten, die auf den Koordinatenachsen liegen, und der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich auf einer Seite dieses Quadrats (vgl. Abbildung 2).

Das Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.

$a =$

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

e) (1) Betrachtet wird das folgende Gleichungssystem:$$\begin{matrix} \text{I} & 2x & & & + & z & = & 0 \\ \text{II} & & - & 2y & + & 4z & = & 0 \\ \text{III} & & & 2y & - & 5z & = & 1 \end{matrix} \quad \text{mit } x,y,z \in \mathbb{R}.$$Berechnen Sie die Lösung dieses Gleichungssystems.

x = y = z =

(2) Für einen bestimmten Wert von $r$ mit $r \in \mathbb{R}$ besitzt das Gleichungssystem$$\begin{matrix} \text{I} & 2x & & & + & z & = & 0 \\ \text{II} & & - & 2y & + & 4z & = & 0 \\ \text{III} & & & 2y & - & r \cdot z & = & 1 \end{matrix} \quad \text{mit } x,y,z \in \mathbb{R}$$keine Lösung besitzt. Ermitteln Sie diesen Wert.

r =

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$.

f) (1) Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$. Dabei haben der Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ die Werte $\mu = 60$ und $\sigma = 6$.

Berechnen Sie die Werte von $p$ und $n$.

p = n =

(2) Eine Urne enthält 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. Es wird 150-mal jeweils eine Kugel mit Zurücklegen aus der Urne gezogen.

(i) Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass genau 60-mal eine schwarze Kugel gezogen wird.

(ii) Beschreiben Sie ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch folgenden Term gegeben ist:$$0{,}4^5 \cdot \begin{pmatrix} 145 \\ 55 \end{pmatrix} \cdot 0{,}4^{55} \cdot 0{,}6^{90}.$$

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5)\cdot \mathrm{e}^x,\ x \in \mathbb{R}\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im weiteren Verlauf darf ohne Nachweis benutzt werden: $f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 5)\cdot \mathrm{e}^x$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Zeigen Sie: $f''(x)=(x^3+6x^2+6x-5)\cdot e^x$.

a) (2)

Der Graph von $f$ hat genau eine Extremstelle und drei Wendestellen. Berechnen Sie diese Wendestellen von $f$ und runden Sie auf drei Nachkommastellen.

a) (3)

Für $z > 0$ ist $P_z(z \mid f(z))$ ein Punkt auf dem Graphen von $f$. Er bildet zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ und dem Punkt $Q_z(z \mid 0)$ ein Dreieck $OP_zQ_z$. Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $OP_zQ_z$, wenn für $P_z$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ gewählt wird.

Teilaufgabe c

Die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit $f_k(x)=(x^3+k)\cdot e^x$ und $k \in \mathbb{R}$ bilden eine Funktionenschar. Dabei ist $f_{-5}$ identisch mit $f$. In Abbildung 3 sind drei Graphen $G_{\text{I}}, G_{\text{II}}, G_{\text{III}}$ der Schar zu drei verschiedenen Parametern $k_{\text{I}}, k_{\text{II}}, k_{\text{III}}$ dargestellt.

c) (1)

Geben Sie die Parameter an, die zu den Graphen gehören:

$k_{\text{I}} =$

$k_{\text{II}} =$

$k_{\text{III}} =$

c) (2)

Begründen Sie, dass jede Funktion $f_k$ dieser Schar genau eine Nullstelle besitzt.

Für die Ableitungsfunktion $f_k'$ gilt: $f_k'(x)=(x^3+3x^2+k)\cdot e^x, x \in \mathbb{R}; k \in \mathbb{R}$.

Um zu untersuchen, wie die Anzahl der Extremstellen von $f_k$ vom Parameter $k$ abhängt, betrachtet man die Nullstellen der Funktion $h_k$ mit $h_k(x)=x^3+3x^2+k$. Abbildung 4 stellt den Graphen von $h_0$ (also $k=0$) dar.

c) (3) (i)

Geben Sie mithilfe von Abbildung 4 an, wie viele Nullstellen $h_k$ je nach Parameter $k$ hat.

Für $k > 0$ oder $k < -4$: Nullstelle(n)

Für $k = 0$ oder $k = -4$: Nullstelle(n)

Für $-4 < k < 0$: Nullstelle(n)

c) (3) (ii)

Begründen Sie, dass die folgenden drei Aussagen richtig sind:

S1: Für jedes $k > 0$ hat die Funktion $f_k$ genau eine Extremstelle.

S2: Es gibt keine Funktion $f_k$, die mehr als drei Extremstellen hat.

S3: Es gibt keine Funktion $f_k$, die genau zwei Extremstellen hat.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5)\cdot \mathrm{e}^x,\ x \in \mathbb{R}\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im weiteren Verlauf darf ohne Nachweis benutzt werden: $f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 5)\cdot \mathrm{e}^x$.

b) (1)

Zur Ermittlung einer Stammfunktion $F$ von $f$ kann man den folgenden Ansatz verwenden:

$$F(x) = (a \cdot x^3 + b \cdot x^2 + c \cdot x + d) \cdot e^x; \quad a, b, c, d \in \mathbb{R}, \, a \neq 0.$$Berechnen Sie $F'(x)$ und ermitteln Sie, indem Sie diesen Term mit $f(x)$ vergleichen, ein lineares Gleichungssystem für die Koeffizienten $a, b, c, d$.

[Die Koeffizienten müssen nicht berechnet werden.]

Eine Stammfunktion $F$ der Funktion $f$ ist gegeben durch:

$$F(x) = (x^3 - 3x^2 + 6x - 11) \cdot e^x.$$

(2)

Bestimmen Sie rechnerisch den Flächeninhalt des Gebiets, das im 4. Quadranten vom Graphen von $f$ und den Koordinatenachsen begrenzt wird.

FE

(3)

Die Gleichung $\int_{0}^{z} f(x) \, dx = 0$ besitzt für $z \neq 0$ ausschließlich die Lösung $z \approx 2{,}271$.

Interpretieren Sie diese Lösung geometrisch.

(4)

Im 3. Quadranten schließen die Koordinatenachsen und der Graph von $f$ für $x \le 0$ eine nach links unbegrenzt ausgedehnte Fläche ein, deren Inhalt endlich ist.

Ermitteln Sie den Inhalt dieser Fläche.

FE

(5)

Die Punkte $O(0|0)$, $N(-5|0)$, $Y(0|-5)$ legen ein Dreieck $ONY$ fest. Der Graph von $f$ verläuft zum Teil im Inneren des Dreiecks und umschließt zusammen mit der Seite $\overline{NY}$ eine Fläche $A$.

(i)

Zeichnen Sie die Fläche $A$ in Abbildung 2 ein.

[Hinweis: Abbildung 2 entspricht Abbildung 1.]

(ii)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$.

FE

Im Morgenverkehr bildet sich an einer Autobahnbaustelle oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig verschwunden. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8-5x) \cdot \left(1-\frac{x}{4}\right)^2$$$$= -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$ modellieren. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

(1)

Nennen Sie alle Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge im Modell null beträgt, und begründen Sie mithilfe des Aufbaus des Funktionsterms von $f$, dass keine weiteren derartigen Zeitpunkte existieren.

(2)

Es ist $f(2) < 0$. Geben Sie an, was dies im Sachzusammenhang bedeutet.

(4)

Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt der Stau seine größte Länge erreicht, und begründen Sie Ihre Angabe.

(5)

Neben der Funktion $f$ ist im Sachzusammenhang auch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit$$s(x)=\left(\frac{x}{4}\right)^2\cdot(4-x)^3 = -\frac{1}{16}x^5+\frac{3}{4}x^4-3x^3+4x^2$$relevant.

Begründen Sie die Richtigkeit der folgenden Aussage:

Die Staulänge in Kilometern kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.

Bestätigen Sie durch eine Rechnung, dass der Stau um 10:00 Uhr vollständig verschwunden ist.

(6)

Berechnen Sie, um wie viel die Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr zunimmt, und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die mittlere Änderungsrate der Staulänge.

(7)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, an dem der Stau 0,5 km kürzer ist als eine Stunde zuvor.

(8)

An einem anderen Tag zeigt der Graph in Abbildung 1 die momentane Änderungsrate der Staulänge von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $y$ für die momentane Änderungsrate in Kilometer pro Stunde.

Der Stau hat um 07:30 Uhr eine bestimmte Länge, die er zu einem weiteren Zeitpunkt ebenfalls aufweist.

Markieren Sie diesen Zeitpunkt näherungsweise in Abbildung 1 und begründen Sie Ihr Vorgehen.

Im Morgenverkehr bildet sich an einer Autobahnbaustelle oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig verschwunden. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8-5x) \cdot \left(1-\frac{x}{4}\right)^2$$$$= -\frac{5}{16}x^4 + 3x^3 - 9x^2 + 8x$$ modellieren. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.

Teilaufgabe a)

(3)

Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt der Stau am schnellsten länger wird.

Zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt einen Wert zwischen $2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und $3\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ hat.

Teilaufgabe b)

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $l_{a;b}$ mit

$$l_{a;b}(x) = 16\cdot\frac{a}{b}\cdot x^2\cdot\left(1-\frac{x}{b}\right)^3 \quad\text{und}\quad a,b\in\mathbb{R},\, a>0,\, b>0.$$

Es gilt: $l_{a;b}'(x) = 16\cdot\frac{a}{b}\cdot x\cdot\left(2-\frac{5\cdot x}{b}\right)\cdot\left(1-\frac{x}{b}\right)^2$.

(1)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $b$ die lokalen Extremstellen von $l_{a;b}$ sowie deren Art.

[Zur Kontrolle: Der einzige lokale Hochpunkt des Graphen von $l_{a;b}$ befindet sich an der Stelle $x = 0{,}4\cdot b$.]

Die Funktion $l_{1;4}$ ist identisch mit der Funktion $s$ (aus Aufgabenteil a)).

Eine Verkehrszentrale überwacht den Autobahnverkehr in der Umgebung. Die Computersysteme der Verkehrszentrale erhalten ständig Daten von Sensoren und Kameras, die von einer Software verarbeitet werden.

Die Software modelliert Staulängen mit den Funktionen $l_{a;b}$. Dabei gibt $x$ mit $0 \leq x \leq b$ die vergangene Zeit in Stunden ab der Entstehung des Staus und $l_{a;b}(x)$ die Staulänge in Kilometer an.

(2)

Auf einem Display wird ein Stau angezeigt, der um 06:00 Uhr entstanden ist. Für die Modellierung dieses Staus verwendet die Software die Parameter $a = 2{,}4$ und $b = 12$.

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die prognostizierte Staulänge nach der Entstehung des Staus zum ersten Mal $10\text{ Kilometer}$ erreicht.

Um 06:40 Uhr schaltet eine Mitarbeiterin der Verkehrszentrale eine Reihe von computergesteuerten Verkehrszeichen – ein sogenanntes Leitsystem – ein, die bei der Reduzierung des Staus helfen sollen. Dadurch ändern sich die Parameter der Modellierung für die Zeit nach 06:40 Uhr auf $a = 1{,}75$ und $b = 8$.

(3)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Einschalten des Leitsystems die vorhergesagte maximale Staulänge verringert.

%

(4) Zusätzlich zum Leitsystem soll ein Polizeieinsatz bei der Reduzierung des Staus helfen. Die Polizei will dafür sorgen, dass die Staulänge ab 11:00 Uhr konstant mit der Änderungsrate abnimmt, die die Software für 11:00 Uhr vorhersagt.

(4)(i)

Ermitteln Sie unter diesen Annahmen mithilfe von Abbildung 2 grafisch, zu welchem Zeitpunkt der Stau verschwunden sein wird.

(4)(ii)

Überprüfen Sie das Ergebnis aus (i) rechnerisch.

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen parallel zur $x_1x_3$-Ebene.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50 \text{ | } {-5} \text{ | } 0)$,

$A_2(50 \text{ | } 5 \text{ | } 0)$,

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$,

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; {-5} \;\middle|\; 0\right)$,

$B_2(10 \text{ | } 5 \text{ | } 30)$,

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$.

b) Durch $$E_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50-a \\ 5 \\ 0{,}75\cdot a \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad a\in\mathbb{R},\, r,s\in\mathbb{R}$$

beschreibt eine Schar paralleler Ebenen. Im weiteren Verlauf wird der Boden eines jeden Balkons als Fläche in einer passenden Ebene dieser Schar modelliert. So befindet sich etwa der Boden des Balkons der 3. Etage in der Ebene $E_{12}$.

b)(1)

Zeigen Sie, dass der Punkt $(50-a \mid 5 \mid 0{,}75\cdot a)$ für jeden Wert $a$ mit $0 \le a \le 40$ auf der Strecke $\overline{A_2B_2}$ liegt.

d)(1)

Stellen Sie eine Koordinatengleichung derjenigen Ebene $F$ auf, welche die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält.

d)(2)

Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast mit der Spitze im Punkt $S(0 \mid 0 \mid 35)$. Zu einem gewissen Zeitpunkt verlaufen die Sonnenstrahlen in Richtung $$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich jeweils in Ebenen parallel zur $x_1x_3$-Ebene.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50 \text{ | } {-5} \text{ | } 0)$,

$A_2(50 \text{ | } 5 \text{ | } 0)$,

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$,

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; {-5} \;\middle|\; 0\right)$,

$B_2(10 \text{ | } 5 \text{ | } 30)$,

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $B_1$ besitzt.

(

|

|

)

a) (2)

Begründen Sie, weshalb es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie den Rauminhalt des Körpers $K$. [1 + 2 Punkte]

VE

Teilaufgabe b (2)

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell für die Planung eines Hotels mit zehn gleich hohen Stockwerken. Alle Punkte der Bodenfläche des Balkons der 3. Etage werden durch die folgende Parametergleichung beschrieben:

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 38 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad 0 \le r \le 1,\ 0 \le s \le 3$$

Der Balkon wird von zwei senkrechten Stützen $s_1$ und $s_2$ getragen. Berechnen Sie die Länge der Stütze $s_1$. [4 Punkte]

Teilaufgabe c

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

c) (1)

Ermitteln Sie durch Rechnung, welche Koordinaten der Punkt $P$ besitzt. [3 Punkte]

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\Big|0\Big|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

(

|

|

)

c) (2)

Berechnen Sie die Entfernung des Punktes $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$. [2 Punkte]

LE

Aufgabenstellung:

Ein Betrieb produziert Olivenöl und füllt dieses in Flaschen. Auf jeder Flasche ist als Füllmenge $600\text{ ml}$ angegeben.

a) Je zwölf Flaschen werden zu einem Karton zusammengepackt. Ein Karton wird als fehlerhaft bezeichnet, wenn mehr als eine seiner Flaschen weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält. Jede Flasche enthält mit einer Wahrscheinlichkeit von $1{,}5\,\%$ weniger als $600\text{ ml}$ Öl.

(1)

Im Sachzusammenhang ist die Rechnung $0{,}985^{12} \approx 83{,}4\,\%$ die Lösung einer Aufgabe.

Formulieren Sie dazu eine passende Aufgabenstellung und erläutern Sie, wie die Rechnung angesetzt wird. [3 Punkte]

(2)

(3)

Die Flaschen werden nacheinander geöffnet und ihre Füllmenge wird kontrolliert.

(4)

Ein Supermarkt bekommt regelmäßig stets gleich viele Flaschen geliefert. Im Mittel enthalten dabei mehr als 780 Flaschen mindestens $600\text{ ml}$ Öl.

(5)

Ein Supermarkt wird mit 150 Kartons beliefert.

b) Es soll angenommen werden, dass die Füllmenge der Flaschen normalverteilt ist mit Erwartungswert $600{,}5\text{ ml}$ und Standardabweichung $0{,}23\text{ ml}$.

(1)

Es wird zufällig eine Flasche gewählt. Ermitteln Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: [3 Punkte]

(2)

Eine Füllmenge kann nicht negativ sein. Die zur Modellierung genutzte Normalverteilung ist jedoch auch für negative reelle Zahlen definiert und liefert dort ausschließlich positive Werte.

Begründen Sie, dass die Normalverteilung trotzdem sinnvoll verwendet werden kann. [2 Punkte]

(3)

Der Betrieb will erreichen, dass seltener eine Flasche weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält. Für die dafür nötige Umstellung der Abfüllmaschine liegen zwei Vorschläge vor:

Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ wird heraufgesetzt.

Vorschlag 2: Die Präzision, mit der die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ eingehalten wird, wird gesteigert.

Der Erwartungswert der Zufallsgröße ist immer die eingestellte Füllmenge.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen jeweils den Graphen der Dichtefunktion, welche die Füllmenge der Flaschen vor der Umstellung der Maschine beschreibt:

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Dichtefunktionsgraphen nach Umsetzung von Vorschlag 1 und in Abbildung 2 einen passenden Graphen für Vorschlag 2.

Begründen Sie anhand Ihrer Skizzen für beide Vorschläge, dass das Ziel des Unternehmens erreicht wird. [6 Punkte]

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrecht stehenden Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils an der Spitze eines Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Das äußere Ende jedes Abspannseils ist am Ende der Fahrbahn befestigt.

Im gewählten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse liegt in der Seitenansicht auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Teilaufgabe a)

Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils im Modell durch den Funktionsterm $$r(x) = \frac{253}{100}\cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$ dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gesamtlänge der Fahrbahn der Brücke $640\text{ m}$ beträgt.

LE

(2)

Der Verlauf des Abspannseils im linken Brückenabschnitt lässt sich im Modell ebenfalls durch einen Funktionsterm beschreiben. Geben Sie dafür einen geeigneten Term $l(x)$ und das Intervall an, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

[; ]

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über der Wasseroberfläche aufragen.

(4)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigungen des rechten und des linken Abspannseils an der Stelle, an der sie jeweils auf ihren Pfeiler treffen, zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen.

Ja

Nein

(5)

Der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn schließen in der Seitenansicht ein Flächenstück ein. Ermitteln Sie den Inhalt dieses Flächenstücks in der Realität.

Teilaufgabe b)

Nun wird der mittlere Brückenabschnitt untersucht. Die senkrechten Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Zu den Pfeilern und zueinander haben sie jeweils einen waagerechten Abstand von $16\text{ m}$. Das Tragseil verläuft im Modell gemäß dem Funktionsterm $$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6\cdot(x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ mit der Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke vereinbar ist.

(2)

Zwei Halteseile im mittleren Brückenabschnitt sind jeweils $\frac{643061}{64000}\text{ m}\;[\approx 10{,}00\text{ m}]$. Zeigen Sie rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen $x = -7{,}2$ und $x = 7{,}2$ befinden, d. h. $72\text{ m}$ links bzw. rechts der Brückenmitte. Geben Sie außerdem an, an wievielter Position von der Brückenmitte aus sich diese Halteseile befinden.

LE

. Position

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils, die waagerecht $40\text{ m}$ voneinander entfernt sind und sich in der Höhe um $5\text{ m}$ unterscheiden. Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich die $x$-Koordinate des höheren Punkts im Modell bestimmen lässt.

(4)

Geben Sie die Bedeutung des Terms $$(s(-20 + 1{,}6\cdot 1) + s(-20 + 1{,}6\cdot 2) + \dots + s(-20 + 1{,}6\cdot 23) + s(-20 + 1{,}6\cdot 24))\cdot 10$$ im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrecht stehenden Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils an der Spitze eines Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Das äußere Ende jedes Abspannseils ist am Ende der Fahrbahn befestigt.

Im gewählten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse liegt in der Seitenansicht auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Für den rechten Teil der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils näherungsweise mit dem Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$

modelliert.

(4)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigung des rechten und die des linken Abspannseils an dem jeweils zugehörigen Pfeiler im Bereich zwischen $-0,7$ und $0,7$ liegen.

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrecht stehenden Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils an der Spitze eines Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Das äußere Ende jedes Abspannseils ist am Ende der Fahrbahn befestigt.

Im gewählten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse liegt in der Seitenansicht auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

(5) Betrachtet man die Seitenansicht, so schließen der rechte Pfeiler, das dazugehörige Abspannseil und die Fahrbahn eine Fläche ein.

Ermitteln Sie den tatsächlichen Flächeninhalt dieses Stücks.