Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

a) Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Die Graphen von $p$ und $q$ haben genau einen gemeinsamen Punkt; dieser Punkt liegt auf der $y$-Achse. Für die erste Ableitungsfunktion von $q$ gilt $q'(x) = -q(x)$.

b) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x}$.

c) Indem eine Schleuse geöffnet wird, nimmt ein Bewässerungskanal seinen Betrieb auf.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4\cdot (x^2 - x - 1)\cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ gibt für $x \ge 0$ an, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Sekunden, die seit Beginn der Beobachtung verstrichen ist, und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $w$.

Im Folgenden dürfen Sie $w'(x) = (12x - 4x^2)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ ohne Nachweis benutzen.

Teilaufgabe a(2)

(2)

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine Tangente teilen, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an.

Teilaufgabe b(2)

(2)

(i) Zeigen Sie: $h'(x) = (-x^2 + 3x)\cdot e^{-x}$.

(ii) Berechnen Sie sowohl die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $h$ als auch den Abstand zwischen diesen Extrempunkten.

x =

y =

x =

y =

Teilaufgabe c(2) & c(3)

Im Folgenden dürfen Sie $w'(x) = (12x - 4x^2)\cdot e^{-x}$ ohne Herleitung benutzen.

(2)

An zwei Stellen stimmt die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ überein.

Ermitteln Sie eine dieser Stellen.

(3)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt innerhalb der ersten zehn Sekunden nach Beginn der Beobachtung, an dem die momentane Durchflussrate am stärksten sinkt.