Abitur NRW Mathematik 2023 · GK · Nachtermin · GTR

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = x^3 - 2 \cdot x^2$, $x \in \mathbb{R}$.

(1)

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion.

(2)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{6} \cdot x^3 - 2 \cdot x^2 + \frac{28}{3}$, $x \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x = 0$ einen lokalen Hochpunkt besitzt.

(2)

Begründen Sie, dass die Tangente, die den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 0$ berührt, den Punkt $P\left(\frac{4}{3} \Big| \frac{28}{3}\right)$ enthält.

(3)

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $Q(4 | -12)$.

Zeigen Sie: Die durch $P$ und $Q$ verlaufende Gerade tangiert den Graphen von $f$ im Punkt $Q$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

c) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $$f(x)=(2x-1)\cdot e^{2x},\ x\in \mathbb{R}.$$ In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen.

Außerdem sei die Funktion $F$ mit $$F(x)=(x-1)\cdot e^{2x},\ x\in \mathbb{R},$$ betrachtet.

(1)

Weisen Sie nach, dass es sich bei $F$ um eine Stammfunktion von $f$ handelt.

(2)

Der Graph der Funktion $f$ schneidet die $x$-Achse ausschließlich an der Stelle $x=\frac{1}{2}$.

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

d) Gegeben sind die Vektoren $$\vec{u}=\begin{pmatrix} 4 \\ p \\ q \end{pmatrix}\quad \text{und}\quad \vec{v}=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\quad \text{mit } p, q \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie diejenigen Werte von $p$ und $q$ an, bei denen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ kollinear zueinander sind.

$p=$

$q=$

(2)

Für bestimmte Werte von $p$ und $q$ spannen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ein Rechteck auf. Geben Sie dafür ein Beispiel an.

Beispiel $p=$

$q=$

(3)

Prüfen Sie, ob es Werte für $p$ und $q$ gibt, bei denen der Vektor $\vec{u}$ die Länge $9\text{ [LE]}$ besitzt.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

e) Betrachtet wird die Ebene $E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w},\ r, s \in \mathbb{R}$.

In Abbildung 2 wird ein Teil der Ebene $E$ gezeigt.

(1) (i)

Der in Abbildung 2 eingezeichnete Punkt $A$ liegt in der Ebene $E$. Man erhält ihn, indem man ganzzahlige Werte für die Parameter $r$ und $s$ in die Parametergleichung von $E$ einsetzt.

Geben Sie anhand von Abbildung 2 Werte für $r$ und $s$ an, sodass $\vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \vec{OA}$ gilt.

$r =$

$s =$

(ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Bereich ein, der entsteht, wenn für $r$ und $s$ sämtliche Parameterwerte mit $0 \le r \le 2$ und $-1 \le s \le 1$ in die Parametergleichung von $E$ eingesetzt werden.

(2)

Nun sei $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix},\ r, s \in \mathbb{R}$.

Untersuchen Sie, ob $P(5|0|2)$ ein Punkt der Ebene $E$ ist.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2\cdot x^2$, $x \in \mathbb{R}$.

(1)

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion.

(2)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{6}\cdot x^3-2\cdot x^2+\frac{28}{3}$, $x \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x = 0$ einen lokalen Hochpunkt besitzt.

(2)

Begründen Sie, dass die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 0$ den Punkt $P\left(\frac{4}{3}\Big|\frac{28}{3}\right)$ enthält.

(3)

Der Punkt $Q(4|-12)$ ist ein Punkt des Graphen von $f$. Zeigen Sie, dass die Gerade durch $P$ und $Q$ den Graphen von $f$ im Punkt $Q$ tangiert.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

c) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x - 1) \cdot e^{2x},\ x \in \mathbb{R}$. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Zusätzlich sei die Funktion $F$ mit $F(x) = (x - 1) \cdot e^{2x},\ x \in \mathbb{R}$, betrachtet.

(1)

Weisen Sie nach, dass es sich bei $F$ um eine Stammfunktion von $f$ handelt.

(2)

Die $x$-Achse wird vom Graphen der Funktion $f$ allein an der Stelle $x = \frac{1}{2}$ geschnitten. Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

d) Bei einem Schulfest gibt es das folgende Würfelspiel:

Man zahlt einen Einsatz von $0{,}50\text{ €}$ und würfelt anschließend dreimal mit einem handelsüblichen Würfel. Für jede geworfene $6$ wird $1\text{ €}$ ausgezahlt. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den ausgezahlten Betrag.

(1)

Geben Sie in der folgenden Tabelle die Wahrscheinlichkeiten $P(X = k)$ an:

$k$

$0\text{ €}$

$1\text{ €}$

$2\text{ €}$

$3\text{ €}$

$P(X = k)$

(2)

Zeigen Sie, dass es sich um ein faires Spiel handelt.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

e) Bei einer neu gezüchteten Mandarinensorte enthält eine zufällig gewählte Mandarine nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $10\,\%$ Kerne. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele Mandarinen mit Kernen sich in einer Kiste mit $100$ Mandarinen befinden.

(1)

Berechnen Sie für $X$ den Erwartungswert sowie die Standardabweichung.

(2)

Für jedes der Ereignisse A, B und C lässt sich die Wahrscheinlichkeit mit genau einem der Terme (i) bis (vi) bestimmen:

A: Genau vier von den $100$ Mandarinen in einer Kiste haben Kerne.

B: Mindestens eine von den $100$ Mandarinen in einer Kiste hat Kerne.

C: Von $100$ Mandarinen in einer Kiste hat mindestens eine Mandarine keine Kerne.

(i) $\displaystyle \binom{100}{4} \cdot 0{,}9^4 \cdot 0{,}1^{96}$

(ii) $\displaystyle \binom{100}{4} \cdot 0{,}1^4 \cdot 0{,}9^{96}$

(iii) $\displaystyle \binom{100}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^{99}$

(iv) $\displaystyle 1 - \binom{100}{100} \cdot 0{,}1^{100} \cdot 0{,}9^0$

(v) $1 - 0{,}9^{100}$

(vi) $\displaystyle 1 - \binom{100}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^{99}$

Ordnen Sie jedem Ereignis den Term zu, mit dem sich dessen Wahrscheinlichkeit berechnen lässt.

Ereignis A

→

Ereignis B

→

Ereignis C

→

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Die Funktion $f$ ist durch $f(x)=x^3-2\cdot x^2$, $x \in \mathbb{R}$, definiert.

(1)

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion.

(2)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

b) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{6}\cdot x^3-2\cdot x^2+\frac{28}{3}$, $x \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x=0$ einen lokalen Hochpunkt aufweist.

(2)

Begründen Sie, dass die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x=0$ den Punkt $P\left(\frac{4}{3}\Big|\frac{28}{3}\right)$ enthält.

(3)

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $Q(4|-12)$. Zeigen Sie, dass die Gerade durch $P$ und $Q$ den Graphen von $f$ im Punkt $Q$ tangiert.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

c) Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $$f(x)=(2x-1)\cdot e^{2x}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Zusätzlich betrachtet man die Funktion $F$ mit $$F(x)=(x-1)\cdot e^{2x}, \quad x \in \mathbb{R},$$.

(1)

Weisen Sie nach, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ darstellt. [2 Punkte]

(2)

Der Graph von $f$ hat mit der $x$-Achse ausschließlich an der Stelle $x = \frac{1}{2}$ einen Schnittpunkt.

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche. [3 Punkte]

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

d) Gegeben sind die Vektoren

$$\vec{u} = \begin{pmatrix} 4 \\ p \\ q \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \quad \text{mit } p, q \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie diejenigen Werte von $p$ und $q$ an, bei denen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ kollinear zueinander sind. [1 Punkt]

(2)

Für passende Werte von $p$ und $q$ spannen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ein Rechteck auf. Geben Sie dafür ein Beispiel an. [2 Punkte]

(3)

Prüfen Sie, ob sich Werte für $p$ und $q$ finden lassen, für die der Vektor $\vec{u}$ die Länge $9$ [LE] besitzt. [2 Punkte]

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

e) Bei einer neu gezüchteten Mandarinensorte enthält eine zufällig gewählte Mandarine nur mit einer Wahrscheinlichkeit von $10\,\%$ Kerne. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der Mandarinen mit Kernen in einer Kiste mit $100$ Mandarinen.

(1)

Berechnen Sie sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung von $X$.

(2)

Jedes der folgenden Ereignisse A, B und C lässt sich hinsichtlich seiner Wahrscheinlichkeit mit genau einem der Terme (i) bis (vi) berechnen.

A: Genau vier von den 100 Mandarinen in einer Kiste haben Kerne.

B: Mindestens eine von den 100 Mandarinen in einer Kiste hat Kerne.

C: Von 100 Mandarinen in einer Kiste hat mindestens eine Mandarine keine Kerne.

(i) $\displaystyle \binom{100}{4} \cdot 0{,}9^4 \cdot 0{,}1^{96}$

(iii) $\displaystyle \binom{100}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^{99}$

(v) $1 - 0{,}9^{100}$

(ii) $\displaystyle \binom{100}{4} \cdot 0{,}1^4 \cdot 0{,}9^{96}$

(iv) $\displaystyle 1 - \binom{100}{100} \cdot 0{,}1^{100} \cdot 0{,}9^0$

(vi) $\displaystyle 1 - \binom{100}{1} \cdot 0{,}1^1 \cdot 0{,}9^{99}$

Ordnen Sie jedem Ereignis den Term zu, mit dem sich seine Wahrscheinlichkeit berechnen lässt.

Ereignis A:

Ereignis B:

Ereignis C:

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x)=(x+0{,}5)\cdot(x-0{,}5)\cdot \mathrm{e}^x = (x^2-0{,}25)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x)=(x+1)\cdot(x-1)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $g$ zu sehen:

Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung

$$h(x)=(x-1)\cdot x\cdot \mathrm{e}^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

a) (2)

Gegeben ist: $f''(x) = (x^2 + 4\cdot x + 1{,}75)\cdot \mathrm{e}^x$. Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf Wendestellen; Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht verwendet werden.

und

a) (3)

(i) Weisen Sie nach, dass gilt: $f'(x) = (x^2 + 2\cdot x - 0{,}25)\cdot \mathrm{e}^x$.

(ii) Zeigen Sie rechnerisch, dass $t: y = -\mathrm{e}^{-1{,}5}\cdot x + 0{,}5\cdot \mathrm{e}^{-1{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1{,}5 \mid f(-1{,}5))$ ist.

Teilaufgabe b)

Für $-1 < z < 1$ bilden die Punkte $P(-1 \mid 0)$, $Q_z(z \mid g(z))$ und $R_z(z \mid 0)$ das Dreieck $P Q_z R_z$.

b) (1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $P Q_z R_z$ für $z = 0{,}75$ ein.

b) (2)

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B$ des Dreiecks $P Q_z R_z$ in Abhängigkeit von $z$ durch die Gleichung

$$B(z) = -0{,}5\cdot (z+1)^2 \cdot (z-1)\cdot \mathrm{e}^z$$

berechnen lässt.

b) (3)

Bestimmen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt, den das Dreieck $P Q_z R_z$ annehmen kann.

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x)=(x+0{,}5)\cdot(x-0{,}5)\cdot \mathrm{e}^x = (x^2-0{,}25)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x)=(x+1)\cdot(x-1)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $g$ zu sehen:

Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung

$$h(x)=(x-1)\cdot x\cdot \mathrm{e}^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

(4) Außer dem bereits bekannten Punkt haben der Graph von $f$ und die Tangente $t$ noch einen zweiten gemeinsamen Punkt.

(i)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$, die vom Graphen der Funktion $f$ und der Tangente $t$ begrenzt wird.

FE

(ii)

Die Fläche $A$ reicht teilweise unter die $x$-Achse.

Bestimmen Sie, wie viel Prozent des Inhalts von $A$ auf diese Teilfläche entfallen.

%

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x)=(x+0{,}5)\cdot(x-0{,}5)\cdot \mathrm{e}^x = (x^2-0{,}25)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x)=(x+1)\cdot(x-1)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $g$ zu sehen:

Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung

$$h(x)=(x-1)\cdot x\cdot \mathrm{e}^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

c) Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung $$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Den Graphen der Funktion $h$ erhält man durch eine Transformation aus dem Graphen der Funktion $f$. Geben Sie an, welche Transformation dies ist.

(2)

Die Graphen von $g$ und $h$ haben den Schnittpunkt $S(1 \mid 0)$ sowie einen weiteren Schnittpunkt $T$. Bestimmen Sie die Koordinaten von $T$.

$T$ ( |)

(3)

Der Graph von $f$ soll durch eine Transformation so verändert werden, dass er den Graphen von $g$ ebenfalls im Punkt $S(1 \mid 0)$ schneidet, jedoch nicht mit dem Graphen von $h$ übereinstimmt. Beschreiben Sie eine passende Transformation und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.

Abbildung 1 stellt eine Holzliege dar, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke 4 cm verwendet. Eine Masse von $0{,}75\text{ g}$ besitzt $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt des Seitenteils einer solchen Liege. Den oberen Rand beschreibt der Graph einer Funktion $g$, den unteren Rand der Graph einer Funktion $h$.

Für die Funktion $g$, durch deren Graph der obere Rand in einem geeigneten Intervall beschrieben wird, gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für 40 cm.

Üblicherweise legt sich eine Person so auf die Liege, dass sich – bezogen auf den Längsschnitt – die Kniekehlen ungefähr in dem Punkt befinden, der im Modell durch den lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ gegeben ist. Das Gesäß befindet sich dann ungefähr in dem Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Bei einer bequemen Liege sollte die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand zwischen diesen beiden Punkten entsprechen (erste Bedingung). Außerdem sollte im Bereich zwischen diesen beiden Punkten die Steigung zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich günstiger ist. Daher ersetzt man für $x \ge 2{,}4$ den Graphen von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ (siehe Abbildung 3).

a) (1) Geben Sie $g'(x)$ an und berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $g$; dabei dürfen keine aus Funktionsgraphen abgelesenen Werte oder Zusammenhänge benutzt werden.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen sind $x = 1$ und $x = 2$.]

a)(1)

a) (2) Berechnen Sie im Modell die Entfernung zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt (in LE).

a)(2)

a) (3) Ermitteln Sie, welche Steigung der Graph von $g$ an der Wendestelle besitzt.

a)(3)

a) (4) Eine Person mit einer Körpergröße von $172\text{ cm}$ hat im Durchschnitt eine Oberschenkellänge von $40\text{ cm}$. Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen an eine bequeme Liege erfüllt.

a)(4)

d) An dem Seitenteil wird eine Leiste $v$ parallel zur $y$-Achse befestigt (siehe Abbildung 3). Sie soll an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ sitzen, an der der vertikale Abstand (Abstand in $y$-Richtung) von oberem und unterem Rand des Seitenteils am größten ist.

Ermitteln Sie diesen maximalen vertikalen Abstand zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils.

d)

Abbildung 1 stellt eine Holzliege dar, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke 4 cm verwendet. Eine Masse von $0{,}75\text{ g}$ besitzt $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt des Seitenteils einer solchen Liege. Den oberen Rand beschreibt der Graph einer Funktion $g$, den unteren Rand der Graph einer Funktion $h$.

Für die Funktion $g$, durch deren Graph der obere Rand in einem geeigneten Intervall beschrieben wird, gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für 40 cm.

Üblicherweise legt sich eine Person so auf die Liege, dass sich – bezogen auf den Längsschnitt – die Kniekehlen ungefähr in dem Punkt befinden, der im Modell durch den lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ gegeben ist. Das Gesäß befindet sich dann ungefähr in dem Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Bei einer bequemen Liege sollte die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand zwischen diesen beiden Punkten entsprechen (erste Bedingung). Außerdem sollte im Bereich zwischen diesen beiden Punkten die Steigung zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich günstiger ist. Daher ersetzt man für $x \ge 2{,}4$ den Graphen von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ (siehe Abbildung 3).

b)

Der untere Rand des Seitenteils wird in einem passenden Intervall durch den Graphen der Funktion $h$ dargestellt. Dabei gilt:

$h$ ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades, und ihr Graph verläuft symmetrisch zur $y$-Achse. Der Graph von $h$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0 \mid 0{,}375)$. Außerdem ist der Punkt $\left(\frac{\sqrt{10}}{2} \;\middle|\; 0\right)$ ein lokaler Tiefpunkt des Graphen von $h$.

Ermitteln Sie einen Funktionsterm für $h$.

[Zur Überprüfung: $h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}3x^2 + 0{,}375$.]

Abbildung 1 stellt eine Holzliege dar, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke 4 cm verwendet. Eine Masse von $0{,}75\text{ g}$ besitzt $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt des Seitenteils einer solchen Liege. Den oberen Rand beschreibt der Graph einer Funktion $g$, den unteren Rand der Graph einer Funktion $h$.

Für die Funktion $g$, durch deren Graph der obere Rand in einem geeigneten Intervall beschrieben wird, gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für 40 cm.

Üblicherweise legt sich eine Person so auf die Liege, dass sich – bezogen auf den Längsschnitt – die Kniekehlen ungefähr in dem Punkt befinden, der im Modell durch den lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ gegeben ist. Das Gesäß befindet sich dann ungefähr in dem Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Bei einer bequemen Liege sollte die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand zwischen diesen beiden Punkten entsprechen (erste Bedingung). Außerdem sollte im Bereich zwischen diesen beiden Punkten die Steigung zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich günstiger ist. Daher ersetzt man für $x \ge 2{,}4$ den Graphen von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ (siehe Abbildung 3).

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \geq 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

c) (1)

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Gleichung für die Tangente $t$.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

$y =$

c) (2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dafür nötigen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Der Inhalt der schraffierten Fläche beträgt ungefähr $1{,}25\text{ FE}$.]

FE

c) (3)

Berechnen Sie die Masse eines Seitenteils der optimierten Liege.

Abbildung 1 stellt eine Holzliege dar, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke 4 cm verwendet. Eine Masse von $0{,}75\text{ g}$ besitzt $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes.

Abbildung 2 zeigt modellhaft den Längsschnitt des Seitenteils einer solchen Liege. Den oberen Rand beschreibt der Graph einer Funktion $g$, den unteren Rand der Graph einer Funktion $h$.

Für die Funktion $g$, durch deren Graph der obere Rand in einem geeigneten Intervall beschrieben wird, gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für 40 cm.

Üblicherweise legt sich eine Person so auf die Liege, dass sich – bezogen auf den Längsschnitt – die Kniekehlen ungefähr in dem Punkt befinden, der im Modell durch den lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ gegeben ist. Das Gesäß befindet sich dann ungefähr in dem Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Bei einer bequemen Liege sollte die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand zwischen diesen beiden Punkten entsprechen (erste Bedingung). Außerdem sollte im Bereich zwischen diesen beiden Punkten die Steigung zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich günstiger ist. Daher ersetzt man für $x \ge 2{,}4$ den Graphen von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ (siehe Abbildung 3).

e)

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $f$ mit

$$f(x) = g(k\cdot x) = \frac{2}{3}(k\cdot x)^3 - 3(k\cdot x)^2 + 4(k\cdot x) - 0{,}7,\quad x \in \mathbb{R}.$$

Durch einen passend gewählten Wert von $k$ in der Funktion $f$ soll die Liegefläche einer Kinderliege modelliert werden.

Begründen Sie, warum Werte von $k < 1$ dafür nicht geeignet sind.

In Abbildung 1 wird ein Pyramidenstumpf gezeigt. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Schnittpunkte der Diagonalen beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

In Abbildung 2 wird ein Körper gezeigt, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. Abbildung 3 stellt diesen Körper in der Ansicht von oben dar. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

b)

(1) Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$.

(i)

Stellen Sie für die Ebene $E$ eine Gleichung in Parameterform auf.

(ii)

Untersuchen Sie durch Rechnung, ob $B_2$ ein Punkt der Ebene $E$ ist.

Ja

Nein

c)

Die Kante $\overline{A_3B_3}$ liegt in der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix},\ r \in \mathbb{R}$, und die Kante $\overline{A_4B_4}$ liegt in der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix},\ s \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

In Abbildung 1 wird ein Pyramidenstumpf gezeigt. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Schnittpunkte der Diagonalen beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

In Abbildung 2 wird ein Körper gezeigt, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. Abbildung 3 stellt diesen Körper in der Ansicht von oben dar. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $A_3$ an. [1 Punkt]

$A_3($

$|$

$|$

$)$

a) (2)

Berechnen Sie das Volumen des gegebenen Pyramidenstumpfes. [2 Punkte]

VE

a) (3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Schnittfläche $S$, die entsteht, wenn der Pyramidenstumpf in der Höhe 5 von einer zur $x_1\text{-}x_2$-Ebene parallelen Ebene geschnitten wird. [3 Punkte]

[Zur Kontrolle: $F_S = 36\text{ FE}$]

FE

Teilaufgabe b

b) (2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{A_1B_1}$ und $\overline{A_1A_2}$ einschließen. [2 Punkte]

°

b) (3)

Der Punkt $H_1(1\mid 3\mid 5)$ liegt in der Höhe 5 auf der Kante $\overline{A_1B_1}$. Ebenfalls in der Höhe 5 liegen $H_2(-3\mid 1\mid 5)$, $H_3$ und $H_4$ auf den Kanten $\overline{A_2B_2}$, $\overline{A_3B_3}$ bzw. $\overline{A_4B_4}$. Sie bilden das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$, dessen Flächeninhalt kleiner ist als $F_S$.

Bestimmen Sie rechnerisch, um wie viel Prozent der Flächeninhalt kleiner geworden ist. [2 Punkte]

%

Teilaufgabe c

c) (2) (i)

Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III). [2 Punkte]

c) (2) (ii)

Interpretieren Sie, was der Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch bedeutet. [2 Punkte]

Mithilfe von Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende ohne Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Im Test vergleicht die Software Videos einzelner Personen, also sowohl von Zielpersonen als auch von Kontrollpersonen, mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

a) Während dieser Testphase erkennt die Software eine Zielperson in einem Video mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % korrekt als Zielperson. Im Weiteren wird diese Wahrscheinlichkeit Trefferwahrscheinlichkeit genannt.

Eine Kontrollperson wird irrtümlich mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 % als Zielperson klassifiziert.

10 % der in der Testphase verwendeten Videos zeigen Zielpersonen.

(1)

Erstellen Sie für die geschilderte Situation ein zweistufiges Baumdiagramm mit Beschriftung.

(2)

(i)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Software die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson klassifiziert.

(ii)

Die Software stuft die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson ein.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei dieser Person in Wirklichkeit um eine Kontrollperson handelt.

Mithilfe von Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende ohne Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Im Test vergleicht die Software Videos einzelner Personen, also sowohl von Zielpersonen als auch von Kontrollpersonen, mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

b) Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Angaben zur Qualität ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das nachstehende Ereignis:

Von 50 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen ordnet die Software in mehr als 40 Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson ein.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich bei 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen die Anzahl der Videos mit richtiger Einstufung der gezeigten Person als Zielperson durch die Software höchstens um 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert unterscheidet.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig ausgewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens zehn dieser Videos die gezeigte Person richtig als Zielperson erkannt wird.

d) Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit – in Prozent ohne Nachkommastelle –, die eine Gesichtserkennungssoftware haben muss, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens 90 von 100 zufällig ausgewählten Videos von Zielpersonen die gezeigte Person richtig als Zielperson erkennt.

d)

%

Mithilfe von Gesichtserkennungssystemen lassen sich Personen auf Fotos, in Videos oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Eine Gesichtserkennungssoftware wird anhand von Aufnahmen freiwilliger Teilnehmender getestet. Von einem Teil dieser Personen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Teilnehmende ohne Foto in der Datenbank bezeichnet man als Kontrollpersonen.

Im Test vergleicht die Software Videos einzelner Personen, also sowohl von Zielpersonen als auch von Kontrollpersonen, mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

c)

Auch ein weiterer Hersteller vertreibt eine Gesichtserkennungssoftware. Nach dessen Angabe liegt die Trefferwahrscheinlichkeit dieser Software bei 90 %.

Eine Sicherheitsingenieurin möchte diese Angabe des Herstellers untersuchen. Dazu lässt sie 100 zufällig ausgewählte Videos von Zielpersonen durch die Software überprüfen. Wird dabei in mindestens 95 Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson eingestuft, geht die Sicherheitsingenieurin davon aus, dass die Herstellerangabe zutrifft.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ingenieurin die Herstellerangabe als zutreffend ansieht, obwohl die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit der Software lediglich 86 % beträgt.

[2 Punkte]

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine gekrümmte Form annehmen (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen lässt sich diese Krümmung erkennen. Anhand der Aufnahmen entscheidet man über die weitere Behandlung.

Für $0 \le x \le 5$ beschreibt die Funktion $f$ den Verlauf eines Wirbelsäulenabschnitts eines Skoliose-Patienten mit

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x+1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sieht man das um 90° gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

a)

(1) Zeigen Sie: $f'(x)=(-0{,}6x^2+x)\cdot e^{-1{,}2x+1{,}2}$.

Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten beider Extrempunkte des Graphen von $f$ und deren Art; Werte oder Zusammenhänge, die aus Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht verwendet werden.

Deuten Sie die y-Koordinate des Hochpunkts im Kontext der Sachsituation.

(2) Berechnen Sie eine Gleichung der Tangente $t_1$, die den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_1(0{,}49|0{,}22)$ berührt.

[Zur Kontrolle: $t_1: y = 0{,}64x - 0{,}09$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).]

Die Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_2(2{,}85|0{,}44)$ hat die Gleichung $t_2: y = -0{,}22x + 1{,}07$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).

Für die Entscheidung über das weitere Vorgehen bei der Behandlung wird der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$ ermittelt, der sogenannte Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Einer Studie zufolge wird üblicherweise zu einer Operation geraten, falls der Cobb-Winkel über $50^\circ$ liegt; andernfalls wird das Tragen eines Korsetts empfohlen.

(3) Der Cobb-Winkel $\alpha$ kann mit der Formel

$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$

aus den Steigungen $m_1$ bzw. $m_2$ der Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ berechnet werden.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose eine Operation empfohlen wird.

°

c)

Ein Arzt erwägt, statt des Cobb-Winkels zwischen den Wendetangenten den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten derjenigen Wirbel heranzuziehen, auf denen die Wendepunkte liegen.

Dabei wird anstelle der Tangente in $W_1$ die Tangente in $P_1$ genommen, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Entsprechend dient statt der Tangente in $W_2$ die Tangente in $P_2$, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 5).

Beurteilen Sie ohne zusätzliche Rechnung, ob diese Änderung zu einem größeren oder einem kleineren Winkelwert führt.

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine gekrümmte Form annehmen (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen lässt sich diese Krümmung erkennen. Anhand der Aufnahmen entscheidet man über die weitere Behandlung.

Für $0 \le x \le 5$ beschreibt die Funktion $f$ den Verlauf eines Wirbelsäulenabschnitts eines Skoliose-Patienten mit

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x+1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sieht man das um 90° gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zusammen mit dem Graphen von $f$.

b) Für den größten Teil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, kommt bei der Herstellung eines Korsetts ein Spezialmaterial zum Einsatz. In Abbildung 4 ist die Fläche mit diesem Spezialmaterial schraffiert gekennzeichnet.

(1)

Berechnen Sie, in welchen Punkten die Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ die $x$-Achse schneiden.

$(\,$ $\mid 0)$

$(\,$ $\mid 0)$

(2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der mit dem Spezialmaterial versehen wird.