Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. Jeweils am oberen Pfeilerende sind das Tragseil des mittleren Teils und das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils angebracht. Die Abspannseile sind jeweils am Fahrbahnende verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Teilaufgabe a

Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils im Modell durch den Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$

dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke eine Gesamtlänge von $640\text{ m}$ besitzt.

(2)

Auch für den linken Brückenabschnitt lässt sich der Abspannseilverlauf im Modell mit einem Funktionsterm darstellen.

Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ an und nennen Sie das Intervall, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über der Wasseroberfläche aufragen.

Teilaufgabe b

Nun geht es um den mittleren Brückenabschnitt. Senkrechte Halteseile verbinden dort die Fahrbahn mit dem Tragseil. Ihr horizontaler Abstand zu den Pfeilern und zueinander beträgt jeweils $16\text{ m}$.

Das Tragseil wird im Modell durch den Funktionsterm

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$

dargestellt.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ zur Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke passt.

(2)

Zwei Halteseile im mittleren Brückenabschnitt sind jeweils $\frac{643061}{64000}\text{ m} \; [\approx 10{,}00\text{ m}]$ lang.

Berechnen Sie, an welchen Stellen in der Realität diese Halteseile angebracht sind.

Geben Sie zudem an, das wievielte Halteseil von der Brückenmitte aus gezählt diese Seile jeweils sind.

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils, die horizontal $40\text{ m}$ auseinander liegen und sich in der Höhe um $5\text{ m}$ unterscheiden.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich im Modell die $x$-Koordinate des höheren Punkts bestimmen lässt.

(4)

Geben Sie an, was der Term

$$(s(-20 + 1{,}6 \cdot 1) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 2) + \dots + s(-20 + 1{,}6 \cdot 23) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 24)) \cdot 10$$

im Sachzusammenhang bedeutet, und begründen Sie Ihre Angabe.