Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot e^x,\ x \in \mathbb{R}$$

Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x) = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot e^x,\ x \in \mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g$.

Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung

$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot e^{x - 0{,}5},\ x \in \mathbb{R}$$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte.

a) (2)

Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf Wendestellen; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht verwendet werden.

a) (3)

Zeigen Sie rechnerisch, dass $t: y = -e^{-1{,}5} \cdot x + 0{,}5 \cdot e^{-1{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1{,}5 \mid f(-1{,}5))$ ist.

Teilaufgabe b)

Für $-1 < z < 1$ spannen die Punkte $P(-1\mid 0)$, $Q_z(z\mid g(z))$ und $R_z(z\mid 0)$ das Dreieck $PQ_zR_z$ auf.

b) (1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $PQ_zR_z$ für $z = 0{,}75$ ein.

b) (2)

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B$ des Dreiecks $PQ_zR_z$ abhängig von $z$ durch die Gleichung

$$B(z) = -0{,}5 \cdot (z+1)^2 \cdot (z-1) \cdot e^z$$

berechnen kann.

b) (3)

Ermitteln Sie sämtliche Werte von $z$, bei denen das Dreieck $PQ_zR_z$ einen Flächeninhalt von $0{,}5$ Flächeneinheiten hat.

b) (4)

Bestimmen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_zR_z$.