Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2023)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die Funktion ff mit f(x)=(2x−1)⋅e2x, x∈R.f(x)=(2x-1)\cdot\mathrm{e}^{2x},\ x\in\mathbb{R}. In Abbildung 1 ist der Graph von ff zu sehen.

Außerdem betrachtet man die Funktion FF mit F(x)=(x−1)⋅e2x, x∈R, gegeben.F(x)=(x-1)\cdot\mathrm{e}^{2x},\ x\in\mathbb{R},\text{ gegeben.}

(1)

Weisen Sie nach, dass die Funktion FF eine Stammfunktion von ff darstellt.

(2)

Die xx-Achse wird vom Graphen der Funktion ff nur an der Stelle x=12x=\frac{1}{2} geschnitten. Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

FE

Aufgabenstellung: Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Weisen Sie nach, dass die Funktion F eine Stammfunktion von f darstellt.

Lösung: F′(x)=1⋅e2x+(x−1)⋅2⋅e2x=(2x−1)⋅e2x=f(x)F'(x) = 1\cdot\mathrm{e}^{2x} + (x-1)\cdot 2\cdot\mathrm{e}^{2x} = (2x-1)\cdot\mathrm{e}^{2x} = f(x)

(2) Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

Lösung: 12⋅e−1\frac{1}{2}\cdot\mathrm{e}-1 / 0,360{,}36

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