Abitur NRW Mathematik 2023 · GK · Teil A · Analytische Geometrie

Betrachtet wird ein geradliniger Abschnitt der Strecke der abgebildeten Standseilbahn. In einem Koordinatensystem werden der Anfang und das Ende dieses Abschnitts durch die Punkte $A(-13|9|4)$ bzw. $E(-33|69|34)$ dargestellt, die Talstation der Seilbahn durch den Koordinatenursprung. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 Metern in der Realität.

Gegeben ist das folgende Gleichungssystem mit $x, y \in \mathbb{R}$.

$\begin{array}{lrcrl}

\text{I} & 3x & - & y & = 4 \\

\text{II} & -3x & - & 15y & = 12

\end{array}$

a)

Begründen Sie, dass das Gleichungssystem nur die Lösung $x = 1$ und $y = -1$ hat. [2 BE]

b)

Das gegebene Gleichungssystem wird um die folgende Gleichung mit $t \in \mathbb{R}$ erweitert:

$$\text{III} \quad -2x + y = t$$

Geben Sie die Anzahl der Lösungen des erweiterten Gleichungssystems in Abhängigkeit von $t$ an. Begründen Sie Ihre Angabe. [3 BE]

$t =$

Betrachtet wird ein geradliniger Abschnitt der Strecke der abgebildeten Standseilbahn. In einem Koordinatensystem werden der Anfang und das Ende dieses Abschnitts durch die Punkte $A(-13|9|4)$ bzw. $E(-33|69|34)$ dargestellt, die Talstation der Seilbahn durch den Koordinatenursprung. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 Metern in der Realität.

Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$ sowie die Gerade $h$ durch die Punkte $A(4|0|0)$ und $B(5|1|b)$ mit einer reellen Zahl $b$.

a

Begründen Sie, dass $A$ nicht auf $g$ liegt. [1 BE]

b

Die Geraden $g$ und $h$ haben einen gemeinsamen Punkt. Ermitteln Sie den Wert von $b$. [4 BE]

Betrachtet wird ein geradliniger Abschnitt der Strecke der abgebildeten Standseilbahn. In einem Koordinatensystem werden der Anfang und das Ende dieses Abschnitts durch die Punkte $A(-13|9|4)$ bzw. $E(-33|69|34)$ dargestellt, die Talstation der Seilbahn durch den Koordinatenursprung. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 Metern in der Realität.

a

Geben Sie die Bedeutung der Gleichung

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} -13 \\ 9 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -20 \\ 60 \\ 30 \end{pmatrix} \text{ mit } \lambda \in [0;1]$$

im Sachzusammenhang an.

Betrachtet wird ein geradliniger Abschnitt der Strecke der abgebildeten Standseilbahn. In einem Koordinatensystem werden der Anfang und das Ende dieses Abschnitts durch die Punkte $A(-13|9|4)$ bzw. $E(-33|69|34)$ dargestellt, die Talstation der Seilbahn durch den Koordinatenursprung. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt die Horizontale. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht 10 Metern in der Realität.

b

Ermitteln Sie die Höhe der Seilbahn über der Talstation, wenn die Seilbahn im beschriebenen Streckenabschnitt 140 Meter vom Anfang dieses Abschnitts entfernt ist.

Die Abbildung zeigt das Dreieck ABC. Der Koordinatenursprung wird mit O bezeichnet.

a

Die Ebene, in der das Dreieck $ABC$ liegt, kann durch eine Gleichung der Form $12x + 20y + tz = 60$ dargestellt werden. Bestimmen Sie den Wert von $t$.

Die Abbildung zeigt das Dreieck ABC. Der Koordinatenursprung wird mit O bezeichnet.

b

Für jeden Wert von $k$ mit $k \in ]-3;5[$ wird die Pyramide $OA_kB_kC$ mit $A_k(5-k|0|0)$ und $B_k(0|3+k|0)$ betrachtet. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$, für den die Pyramide das größte Volumen hat.