Aufgabe Gruppe 1 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analysis 2023

Die Abbildung zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in ]1; +\infty[$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

a

Zeigen Sie, dass das Flächenstück, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ hat.

b

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ liegt auf einer Seite eines Quadrats; zwei Seiten dieses Quadrats liegen auf den Koordinatenachsen (vgl. Abbildung). Der Flächeninhalt des Quadrats stimmt mit dem Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ mit der x-Achse einschließt, überein. Bestimmen Sie den Wert von $a$.

$a =$