Abitur NRW Mathematik 2023 · LK · Haupttermin · CAS

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^2\right)}.$$

a) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 3x^2 + \frac{3}{2}x + 5, \quad x \in \mathbb{R},$$

und

$$g(x) = -3x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. berühren.

(2)

Einer dieser gemeinsamen Punkte ist der Punkt $P(3|f(3))$.

Zeigen Sie: Der Graph von $g$ stellt im Punkt $P$ die Tangente an den Graphen von $f$ dar.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^2\right)}.$$

(1)

Geben Sie die Menge der Funktionswerte von $f$ an.

[Zur Wertemenge von $f$ zählen alle Zahlen, die $f$ als Funktionswerte annehmen kann.]

[2 Punkte]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^2\right)}.$$

(2)

Die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ erfüllt die Gleichung $f'(x)=2x\cdot f(x)$.

Es gibt einen Punkt, in dem sich die Graphen von $f$ und $f'$ schneiden.

Bestimmen Sie, welche Steigung der Graph von $f$ in diesem Schnittpunkt besitzt. [3 Punkte]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^2\right)}.$$

c) Gegeben ist eine auf $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale Funktion $f$, die nicht linear ist, mit der ersten Ableitungsfunktion $f'$ und der zweiten Ableitungsfunktion $f''$. Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.

Es gilt $f'(x_2) = 0$ und $f''(x_2) \neq 0$.

$f'$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$.

In Abbildung 1 sind die Lagen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ dargestellt.

(1)

Begründen Sie, warum $f$ mindestens den Grad 3 haben muss.

(2)

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen denkbaren Verlauf des Graphen von $f$.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^2\right)}.$$

d) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ besitzt.

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich auf einer Seite eines Quadrats, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen (vgl. Abbildung 2).

Das Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

$a =$

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^2\right)}.$$

e) Die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$ ist vorgegeben.

(1)

Zeigen Sie, dass $g$ in der Ebene mit der Gleichung $x + y + z = 2$ liegt.

(2)

Zusätzlich betrachtet man die Geradenschar $h_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\mu \in \mathbb{R}$ und $a \in \mathbb{R}$.

Weisen Sie nach, dass die Geraden $g$ und $h_a$ unabhängig vom Wert von $a$ windschief zueinander sind.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x)=\mathrm{e}^{\left(x^2\right)}.$$

f) (1) Gegeben ist das Gleichungssystem

$$\begin{matrix} \text{I} & 2x & & + & z & = & 0 \\ \text{II} & & -2y & + & 4z & = & 0 \\ \text{III} & & 2y & - & 5z & = & 1 \end{matrix}$$

mit $x, y, z \in \mathbb{R}$.

Berechnen Sie, welche Lösung das Gleichungssystem besitzt.

$x =$

$\quad y =$

$\quad z =$

(2) Es gibt einen Wert von $r$ mit $r \in \mathbb{R}$, für den das Gleichungssystem

$$\begin{matrix} \text{I} & 2x & & + & z & = & 0 \\ \text{II} & & -2y & + & 4z & = & 0 \\ \text{III} & & 2y & - & r \cdot z & = & 1 \end{matrix}$$

mit $x, y, z \in \mathbb{R}$ keine Lösung besitzt.

Ermitteln Sie den zugehörigen Wert.

$r =$

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5,\; x\in\mathbb{R},$$

und

$$g(x)=-3\cdot x+5,\; x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. gemeinsame Punkte haben.

$x_1 =$

$x_2 =$

(2)

Einer dieser gemeinsamen Punkte ist $P(3\mid f(3))$.

Zeigen Sie: Der Graph von $g$ berührt den Graphen von $f$ im Punkt $P$ als Tangente.

$f'(3) =$

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

(1) Geben Sie an, welche Wertemenge die Funktion $f$ besitzt.

[Zur Wertemenge von $f$ gehören sämtliche Zahlen, die $f$ als Funktionswerte annimmt.]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

(2) Für die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ gilt $f'(x) = 2x\cdot f(x)$.

Die Graphen von $f$ und $f'$ haben genau einen gemeinsamen Punkt.

Bestimmen Sie, welche Steigung der Graph von $f$ in diesem Punkt besitzt.

x)

m)

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

c) Gegeben ist eine auf $\mathbb{R}$ definierte, nicht lineare ganzrationale Funktion $f$ mit der ersten Ableitungsfunktion $f'$ und der zweiten Ableitungsfunktion $f''$. Für sie gelten diese Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.

Es gilt $f'(x_2) = 0$ und $f''(x_2) \neq 0$.

$f'$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$.

In Abbildung 1 sind die Lagen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$ dargestellt.

(1)

Begründen Sie, warum $f$ mindestens den Grad 3 besitzen muss. [2 Punkte]

(2)

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen denkbaren Verlauf des Graphen von $f$. [3 Punkte]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

d) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird, den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ besitzt. [2 Punkte]

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich auf einer Seite eines Quadrats, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen (vgl. Abbildung 2).

Das Quadrat hat den gleichen Flächeninhalt wie die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse eingeschlossen wird.

Bestimmen Sie, welchen Wert $a$ annimmt. [3 Punkte]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

e)

(1)

Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$. Der Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ haben die Werte $\mu = 60$ und $\sigma = 6$.

Berechnen Sie die Werte von $p$ und $n$.

(2)

Eine Urne enthält $4$ schwarze und $6$ weiße Kugeln. Es wird $150$-mal je eine Kugel mit Zurücklegen gezogen.

(i)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass genau $60$-mal eine schwarze Kugel gezogen wird.

(ii)

Beschreiben Sie ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit sich ergibt zu

$$0{,}4^5 \cdot \binom{145}{55} \cdot 0{,}4^{55} \cdot 0{,}6^{90}$$

(3 + 2 Punkte)

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

f) (1) Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit $n = 10$.

Abbildung 3 zeigt das Histogramm dieser Verteilung, das nicht vollständig ist.

Bekannt ist: $P(X \ge 4) \approx 0{,}35$.

(i)

Ermitteln Sie als Näherung die Wahrscheinlichkeit $P(X \le 2)$.

(ii)

Ermitteln Sie als Näherung die Wahrscheinlichkeit $P(X = 3)$.

(2) Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 4-1 bis 4-3 zeigen Ausschnitte aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen von drei binomialverteilten Zufallsgrößen $A$, $B$ und $C$.

Für die Parameter $n$ und $p$ der Zufallsgrößen kommen diese Werte vor:

$n = 10$ und $p = 0{,}2$

$n = 10$ und $p = 0{,}4$

$n = 40$ und $p = 0{,}1$

Ordnen Sie jedem der Histogramme I bis III die passenden Werte von $n$ und $p$ zu und begründen Sie die Zuordnung.

Histogramm

Zugeordnete Parameter

Histogramm I

Histogramm II

Histogramm III

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit

$$f(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-3\cdot x^2+\frac{3}{2}\cdot x+5,\; x\in\mathbb{R},$$

und

$$g(x)=-3\cdot x+5,\; x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. berühren, also gemeinsame Punkte haben.

(2)

Einer dieser gemeinsamen Punkte ist $P(3\mid f(3))$.

Zeigen Sie: Der Graph von $g$ tangiert im Punkt $P$ den Graphen von $f$.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

(1)

Geben Sie die Wertemenge von $f$ an.

[Die Wertemenge von $f$ umfasst alle Zahlen, die als Funktionswerte von $f$ auftreten.]

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

(2)

Die erste Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ erfüllt $f'(x)=2x\cdot f(x)$.

Es gibt genau einen Punkt, in dem sich die Graphen von $f$ und $f'$ schneiden.

Bestimmen Sie, welche Steigung der Graph von $f$ im Schnittpunkt besitzt.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

c) Gegeben ist eine auf $\mathbb{R}$ definierte ganzrationale Funktion $f$, die nicht linear ist, mit der ersten Ableitungsfunktion $f'$ und der zweiten Ableitungsfunktion $f''$. Sie besitzt die folgenden Eigenschaften:

$f$ hat bei $x_1$ eine Nullstelle.

Es gilt $f'(x_2) = 0$ und $f''(x_2) \neq 0$.

$f'$ hat ein Minimum an der Stelle $x_3$.

Abbildung 1 zeigt die Positionen von $x_1$, $x_2$ und $x_3$.

(1)

Begründen Sie, dass $f$ mindestens den Grad 3 besitzt.

(2)

Skizzieren Sie einen möglichen Verlauf des Graphen von $f$ in Abbildung 1.

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

d) Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto -x^2 + 2ax$ mit $a \in \mathbb{R}$, $a > 1$. Die Nullstellen von $f$ sind $0$ und $2a$.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fläche, die vom Graphen von $f$ und der x-Achse begrenzt wird, den Inhalt $\frac{4}{3}a^3$ besitzt.

(2)

Der Hochpunkt des Graphen von $f$ befindet sich auf einer Seite eines Quadrats, von dem zwei Seiten auf den Koordinatenachsen liegen (vgl. Abbildung 2).

Das Quadrat hat denselben Flächeninhalt wie das Flächenstück zwischen dem Graphen von $f$ und der x-Achse.

Bestimmen Sie $a$.

$a =$

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

Teilaufgabe e)

(1)

Gegeben ist das Gleichungssystem

$\begin{array}{lrcrcrl}

\text{I} & 2x & & + & z & = & 0 \\

\text{II} & & -2y & + & 4z & = & 0 \\

\text{III} & & 2y & - & 5z & = & 1

\end{array} \quad \text{mit } x, y, z \in \mathbb{R}.$

Berechnen Sie, welche Lösung das Gleichungssystem hat.

$x =$

$y =$

$z =$

(2)

Es existiert ein Wert $r$ mit $r \in \mathbb{R}$, für den das Gleichungssystem

$\begin{array}{lrcrcrl}

\text{I} & 2x & & + & z & = & 0 \\

\text{II} & & -2y & + & 4z & = & 0 \\

\text{III} & & 2y & - & r \cdot z & = & 1

\end{array} \quad \text{mit } x, y, z \in \mathbb{R}$

keine Lösung besitzt.

$r =$

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = \mathrm{e}^{\left(x^2\right)}$.

Teilaufgabe f)

(1)

Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p$. Der Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ haben die Werte $\mu = 60$ und $\sigma = 6$.

$p =$

$n =$

(2)

Eine Urne enthält 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. Es wird 150-mal jeweils eine Kugel mit Zurücklegen aus der Urne gezogen.

(i)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass genau 60 der gezogenen Kugeln schwarz sind.

(ii)

Beschreiben Sie ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit sich ergibt zu

$$0{,}4^5 \cdot \binom{145}{55} \cdot 0{,}4^{55} \cdot 0{,}6^{90}.$$

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $$f(x)=(x^3 - 5)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Berechnen Sie die Tangentengleichung für den Graphen von $f$ im Punkt $P(-1 \mid f(-1))$, wobei Sie keine am Funktionsgraphen abgelesenen Werte oder Zusammenhänge benutzen dürfen.

Der Graph von $f$ hat genau eine Extremstelle sowie drei Wendestellen.

a) (2)

Berechnen Sie die Wendestellen von $f$ und runden Sie auf drei Nachkommastellen.

$x_{W1} =$

$x_{W2} =$

$x_{W3} =$

Für $z > 0$ liegt der Punkt $P_z(z \mid f(z))$ auf dem Graphen von $f$. Zusammen mit dem Koordinatenursprung $O(0 \mid 0)$ und dem Punkt $Q_z(z \mid 0)$ bildet er das Dreieck $OP_zQ_z$.

a) (3)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $OP_zQ_z$ für den Fall, dass $P_z$ der Tiefpunkt des Graphen von $f$ ist.

Teilaufgabe b (3) (iii)

b) (3) (iii)

Die Punkte $O(0 \mid 0)$, $N(-5 \mid 0)$, $Y(0 \mid -5)$ spannen das Dreieck $ONY$ auf. Ermitteln Sie die beiden Punkte des Graphen von $f$, in denen die Tangente zur Seite $\overline{NY}$ parallel ist.

$x_{B1} =$

$y_{B1} =$

$x_{B2} =$

$y_{B2} =$

Teilaufgabe c (3)

Die Ableitungsfunktion $f_k'$ der Schar $f_k(x) = (x^3 + k)\cdot e^x$ lautet: $$f_k'(x) = (x^3 + 3x^2 + k)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}; \, k \in \mathbb{R}.$$ Um zu untersuchen, wie die Anzahl der Extremstellen von $f_k$ vom Parameter $k$ abhängt, betrachtet man die Nullstellen der Funktion $h_k$ mit $h_k(x) = x^3 + 3x^2 + k$.

In Abbildung 5 ist der Graph der Funktion $h_0$ (also $k = 0$) dargestellt.

c) (3) (i)

Geben Sie mithilfe von Abbildung 5 an, wie viele Nullstellen die Funktion $h_k$ je nach Parameter $k$ hat. (Die Nullstellen sollen nicht mit dem Taschenrechner berechnet werden.)

Bedingung für $k$

Anzahl der Nullstellen von $h_k$

$k > 0$ oder $k < -4$

$k = 0$ oder $k = -4$

$-4 < k < 0$

c) (3) (ii)

Begründen Sie, dass die folgenden drei Aussagen zutreffen:

S1: Für jedes $k > 0$ hat die Funktion $f_k$ genau eine Extremstelle.

S2: Es gibt keine Funktion $f_k$, die mehr als drei Extremstellen hat.

S3: Es gibt keine Funktion $f_k$, die genau zwei Extremstellen hat.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $$f(x)=(x^3 - 5)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

b) (1) Im 3. und 4. Quadranten wird zwischen dem Graphen von $f$ und der $x$-Achse eine nach links unbegrenzt ausgedehnte Fläche eingeschlossen, deren Inhalt endlich ist. In Abbildung 2 ist diese Fläche schraffiert gezeichnet.

(i)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche, gerundet auf drei Nachkommastellen.

(ii)

Durch die $y$-Achse wird diese Fläche in zwei Teilflächen zerlegt. Ermitteln Sie, in welchem Verhältnis die Inhalte dieser Teilflächen zueinander stehen.

(2)

Die Gleichung $\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x = 0$ besitzt für $z \neq 0$ genau eine Lösung.

Bestimmen Sie diese Lösung und interpretieren Sie sie anschaulich im geometrischen Zusammenhang.

(3) Die Punkte $O(0\mid 0)$, $N(-5\mid 0)$, $Y(0\mid -5)$ spannen das Dreieck $ONY$ auf. Der Graph von $f$ verläuft zum Teil im Inneren des Dreiecks und begrenzt zusammen mit der Seite $\overline{NY}$ eine Fläche $A$.

(i)

Zeichnen Sie in Abbildung 3 die Fläche $A$ ein.

(ii)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $$f(x)=(x^3 - 5)\cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

c) Betrachtet wird die Funktionenschar $f_k$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ und der Gleichung

$$f_k(x) = (x^3 + k) \cdot e^x \text{ mit } k \in \mathbb{R}.$$

Die Funktion $f_{-5}$ ist identisch mit der Funktion $f$.

In Abbildung 4 sind drei Graphen $G_I, G_{II}, G_{III}$ der Schar dargestellt, die zu drei unterschiedlichen Parametern $k_I, k_{II}, k_{III}$ gehören.

(1)

Geben Sie an, welche Parameter zu den Graphen gehören.

$k_I =$

$k_{II} =$

$k_{III} =$

(2)

Begründen Sie, dass jede Funktion $f_k$ dieser Schar genau eine Nullstelle besitzt.

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig verschwunden. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8-5x) \cdot \left(1-\frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde.

Im Sachzusammenhang spielt außer $f$ auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4-x)^3$$ eine Rolle.

Teilaufgabe a)

(3)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt des stärksten Anstiegs der Staulänge.

Zeigen Sie, dass die momentane Änderungsrate zu diesem Zeitpunkt einen Wert zwischen $2\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und $3\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ besitzt.

(4)

Geben Sie an, zu welchem Zeitpunkt der Stau seine größte Länge erreicht. Begründen Sie Ihre Angabe.

Teilaufgabe b)

Gegeben ist die Funktionenschar $l_{a;b}$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$ und

$$l_{a;b}(x) = 16 \cdot \frac{a}{b} \cdot x^2 \cdot \left(1 - \frac{x}{b}\right)^3 \quad \text{und } a, b \in \mathbb{R},\; a > 0,\; b > 0.$$

(1)

Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $b$ die lokalen Extremstellen von $l_{a;b}$ sowie deren Art.

[Zur Kontrolle: Der Graph von $l_{a;b}$ besitzt nur einen lokalen Hochpunkt, und zwar an der Stelle $x = 0{,}4 \cdot b$.]

(4)

Um 06:40 Uhr aktiviert eine Mitarbeiterin der Verkehrszentrale mehrere computergesteuerte Verkehrszeichen (ein Leitsystem), die den Stau verkleinern sollen. Für die Zeit nach 06:40 Uhr gelten in der Modellierung dann die Parameter $a = 1{,}75$ und $b = 8$.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent sich die vorhergesagte maximale Staulänge durch die Aktivierung des Leitsystems verringert.

%

(5)

Neben dem Leitsystem soll auch ein Polizeieinsatz den Stau abbauen. Ab 11:00 Uhr soll die Staulänge gleichmäßig mit derjenigen Änderungsrate abnehmen, die die Software für 11:00 Uhr voraussagt.

(i) Ermitteln Sie unter dieser Annahme mithilfe von Abbildung 2 grafisch, zu welchem Zeitpunkt der Stau aufgelöst sein wird.

(ii) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis aus (i) rechnerisch.

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig verschwunden. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8-5x) \cdot \left(1-\frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde.

Im Sachzusammenhang spielt außer $f$ auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4-x)^3$$ eine Rolle.

(2)

Für die Funktion gilt $f(2) < 0$. Geben Sie an, was dies im Sachzusammenhang bedeutet. [1 Punkt]

(5)

Begründen Sie, dass diese Aussage zutrifft:

„Die Staulänge in Kilometern kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion $s$ angegeben werden.“

Zeigen Sie durch eine Rechnung, dass der Stau um 10:00 Uhr völlig verschwunden ist. [4 Punkte]

(6)

Berechnen Sie, um wie viel die Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr zunimmt, und bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Staulänge in diesem Zeitraum. [3 Punkte]

(8)

An einem anderen Tag zeigt der Graph in Abbildung 1 die momentane Änderungsrate der Staulänge von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Dabei steht $x$ für die Zeit in Stunden seit 06:00 Uhr und $y$ für die momentane Änderungsrate in Kilometern pro Stunde.

Um 07:30 Uhr besitzt der Stau eine bestimmte Länge. Zu einem anderen Zeitpunkt ist der Stau genauso lang.

Markieren Sie diesen Zeitpunkt näherungsweise in Abbildung 1 und begründen Sie Ihr Vorgehen. [3 Punkte]

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig verschwunden. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8-5x) \cdot \left(1-\frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde.

Im Sachzusammenhang spielt außer $f$ auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4-x)^3$$ eine Rolle.

a) (1)

Nennen Sie die Zeitpunkte, an denen die momentane Änderungsrate der Staulänge null beträgt, und begründen Sie mithilfe des Aufbaus des Funktionsterms von $f$, dass keine weiteren derartigen Zeitpunkte existieren.

a) (7)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt im Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr, an dem die Staulänge um 0,5 km kleiner ist als eine Stunde zuvor.

b) (3)

Auf einem Display erscheint ein Stau, der um 06:00 Uhr begonnen hat. Zur Modellierung dieses Staus nutzt die Software die Parameter $a = 2{,}4$ und $b = 12$.

Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die prognostizierte Staulänge nach dem Entstehen des Staus zum ersten Mal 10 Kilometer erreicht.

An einer Baustelle auf einer Autobahn bildet sich am Morgen oft ein Stau.

An einem bestimmten Tag beginnt der Stau um 06:00 Uhr und ist um 10:00 Uhr völlig verschwunden. Für diesen Tag lässt sich die momentane Änderungsrate der Staulänge vom Beginn bis zum Ende des Staus durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit

$$f(x) = x \cdot (8-5x) \cdot \left(1-\frac{x}{4}\right)^2$$ darstellen. Dabei steht $x$ für die seit 06:00 Uhr verstrichene Zeit in Stunden und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometern pro Stunde.

Im Sachzusammenhang spielt außer $f$ auch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $s$ mit

$$s(x) = \left(\frac{x}{4}\right)^2 \cdot (4-x)^3$$ eine Rolle.

b) (2)

Bei passend gewählten Parametern $a_s$ und $b_s$ stimmt die Funktion $l_{a_s;b_s}$ mit der Funktion $s$ aus Aufgabenteil a) überein.

Bestimmen Sie die beiden Parameter $a_s$ und $b_s$.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Eigenschaften auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Ein Architekturbüro verwendet den Körper $K$ in einem mathematischen Modell für die Planung eines neuen Hotels mit zehn gleich hohen Stockwerken. Die Hotelzimmer, die an die Schrägen grenzen, sollen von der 1. bis zur 9. Etage Balkone erhalten. In Abbildung 2 ist beispielhaft der Balkonboden der 3. Etage zu sehen.

Im Modell steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

b)(1)

Zeigen Sie, dass der Punkt $(50-a \mid 5 \mid 0{,}75\cdot a)$ für alle Werte von $a$ mit $0 \le a \le 40$ auf der Strecke $\overline{A_2B_2}$ liegt.

[4 Punkte]

d)(1)

Stellen Sie eine Koordinatengleichung für diejenige Ebene $F$ auf, welche die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ enthält.

[4 Punkte]

[Zur Kontrolle: $F: 3\cdot x_1 + 4\cdot x_3 = 150$]

d)(2)

Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast mit der Spitze im Punkt $S(0 \mid 0 \mid 35)$. Zu einem bestimmten Zeitpunkt fallen die Sonnenstrahlen in Richtung $\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$ ein.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt innerhalb der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

[4 Punkte]

$Q($

$\mid$

$\mid$

$)$

Ja

Nein

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Eigenschaften auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt, und $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Ein Architekturbüro verwendet den Körper $K$ in einem mathematischen Modell für die Planung eines neuen Hotels mit zehn gleich hohen Stockwerken. Die Hotelzimmer, die an die Schrägen grenzen, sollen von der 1. bis zur 9. Etage Balkone erhalten. In Abbildung 2 ist beispielhaft der Balkonboden der 3. Etage zu sehen.

Im Modell steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $B_1$ besitzt.

$B_1($ $|$ $|$ $)$

a) (2)

Begründen Sie, warum es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$.

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell, das ein Architekturbüro für die Planung eines neuen Hotels verwendet. Das Hotel soll zehn gleich hohe Stockwerke haben. Die Hotelzimmer, die an die Schrägen grenzen, sollen in der 1. bis 9. Etage Balkone erhalten. Beispielhaft ist in Abbildung 2 der Boden des Balkons der 3. Etage abgebildet.

b) (2)

Alle Punkte der Bodenfläche des Balkons der 3. Etage werden durch die Parametergleichung$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 38 \\ 5 \\ 9 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad 0 \le r \le 1, \; 0 \le s \le 3,$$erfasst. Der Balkon liegt, wie in Abbildung 3 gezeigt, auf zwei senkrechten Stützen $s_1$ und $s_2$ auf.

Berechnen Sie, wie lang die Stütze $s_1$ ist.

Das Hotel soll drei gleichförmige Gebäude umfassen. Gebäude I wird durch den Körper $K$ modelliert; die Gebäude II und III gehen aus Gebäude I durch eine Drehung um jeweils $120^\circ$ hervor (siehe Abbildung 4 und Abbildung 5). Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht. Im Modell befindet sich dieser Innenhof in der $x_1x_2$-Ebene.

c) (1)

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck. Ermitteln Sie rechnerisch die Koordinaten des Punktes $P$.

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\,\Big|\,0\,\Big|\,0\right) \approx P(-5{,}77\,|\,0\,|\,0)$]

$P($ $|$ $|$ $)$

c) (2)

Berechnen Sie die Entfernung des Punktes $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$.

Aufgabenstellung:

Ein Betrieb produziert Olivenöl und füllt dieses in Flaschen. Laut Etikett enthält jede Flasche $600\text{ ml}$.

a) Jeweils zwölf Flaschen werden zu einem Karton zusammengepackt. Ein Karton wird als fehlerhaft bezeichnet, wenn darin mehr als eine Flasche mit weniger als $600\text{ ml}$ Öl ist. Jede Flasche enthält mit einer Wahrscheinlichkeit von $1{,}5\,\%$ weniger als $600\text{ ml}$ Öl.

(1)

Die Rechnung $0{,}985^{12} \approx 83{,}4\,\%$ löst im Sachzusammenhang eine bestimmte Aufgabe.

Formulieren Sie eine dazu passende Aufgabe und erläutern Sie, wie der Rechenansatz zustande kommt.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von $100$ Flaschen genau drei weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthalten.

(3)

Die Flaschen werden nacheinander geöffnet und ihre Füllmenge wird kontrolliert.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst die vierte geöffnete Flasche die erste kontrollierte mit weniger als $600\text{ ml}$ Öl ist.

(4)

Ein Supermarkt bekommt regelmäßig eine gleichbleibende Anzahl an Flaschen geliefert. Im Mittel haben davon mehr als $780$ Flaschen mindestens $600\text{ ml}$ Öl.

Ermitteln Sie, wie viele Flaschen eine regelmäßige Lieferung mindestens enthält.

(5)

Ein Supermarkt wird mit $150$ Kartons beliefert.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als $3\,\%$ der Kartons fehlerhaft sind.

b) Für die Füllmenge der Flaschen gelte eine Normalverteilung mit Erwartungswert $600{,}5\text{ ml}$ und Standardabweichung $0{,}23\text{ ml}$.

(1)

Es wird zufällig eine Flasche gewählt.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für jedes der folgenden Ereignisse:

$A$: „Die Flasche enthält mehr als $601\text{ ml}$ Öl.“

$B$: „Die Füllmenge der Flasche weicht höchstens um $0{,}5\text{ ml}$ vom Erwartungswert ab.“

(2)

Eine Füllmenge kann nicht negativ sein. Die zur Modellierung genutzte Normalverteilung ist allerdings auch für negative reelle Zahlen erklärt und liefert dort ausschließlich positive Werte.

Begründen Sie, warum der Einsatz der Normalverteilung trotzdem sinnvoll ist.

(3)

Der Betrieb will die Wahrscheinlichkeit senken, dass eine Flasche weniger als $600\text{ ml}$ Öl enthält. Für die dafür nötige Anpassung der Abfüllmaschine liegen zwei Vorschläge vor:

Vorschlag 1: Die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ wird heraufgesetzt.

Vorschlag 2: Die Präzision, mit der die eingestellte Füllmenge von $600{,}5\text{ ml}$ eingehalten wird, wird gesteigert.

Der Erwartungswert der Zufallsgröße ist immer die eingestellte Füllmenge.

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen beide den Graphen der Dichtefunktion, mit der die Füllmenge der Flaschen vor der Anpassung der Maschine beschrieben wird.

Skizzieren Sie in Abbildung 1 einen möglichen Graphen der Dichtefunktion nach Umsetzung von Vorschlag 1 und in Abbildung 2 einen passenden Graphen für Vorschlag 2.

Begründen Sie für jeden der Vorschläge anhand Ihres skizzierten Graphen, dass das Ziel des Betriebs erreicht wird.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. Jeweils am oberen Pfeilerende sind das Tragseil des mittleren Teils und das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils angebracht. Die Abspannseile sind jeweils am Fahrbahnende verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Teilaufgabe a

Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils im Modell durch den Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$

dargestellt.

(1)

Zeigen Sie, dass die Fahrbahn der Brücke eine Gesamtlänge von $640\text{ m}$ besitzt.

(2)

Auch für den linken Brückenabschnitt lässt sich der Abspannseilverlauf im Modell mit einem Funktionsterm darstellen.

Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ an und nennen Sie das Intervall, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über der Wasseroberfläche aufragen.

Teilaufgabe b

Nun geht es um den mittleren Brückenabschnitt. Senkrechte Halteseile verbinden dort die Fahrbahn mit dem Tragseil. Ihr horizontaler Abstand zu den Pfeilern und zueinander beträgt jeweils $16\text{ m}$.

Das Tragseil wird im Modell durch den Funktionsterm

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$

dargestellt.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ zur Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke passt.

(2)

Zwei Halteseile im mittleren Brückenabschnitt sind jeweils $\frac{643061}{64000}\text{ m} \; [\approx 10{,}00\text{ m}]$ lang.

Berechnen Sie, an welchen Stellen in der Realität diese Halteseile angebracht sind.

Geben Sie zudem an, das wievielte Halteseil von der Brückenmitte aus gezählt diese Seile jeweils sind.

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils, die horizontal $40\text{ m}$ auseinander liegen und sich in der Höhe um $5\text{ m}$ unterscheiden.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich im Modell die $x$-Koordinate des höheren Punkts bestimmen lässt.

(4)

Geben Sie an, was der Term

$$(s(-20 + 1{,}6 \cdot 1) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 2) + \dots + s(-20 + 1{,}6 \cdot 23) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 24)) \cdot 10$$

im Sachzusammenhang bedeutet, und begründen Sie Ihre Angabe.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. Jeweils am oberen Pfeilerende sind das Tragseil des mittleren Teils und das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils angebracht. Die Abspannseile sind jeweils am Fahrbahnende verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

a) Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft mit dem Funktionsterm $$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$ dargestellt.

(4)

Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Steigungen des rechten und des linken Abspannseils an dem jeweils zugehörigen Pfeiler im Bereich zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen.

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrechten Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. Jeweils am oberen Pfeilerende sind das Tragseil des mittleren Teils und das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils angebracht. Die Abspannseile sind jeweils am Fahrbahnende verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch den Funktionsterm

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \left(e^{\frac{1}{11}(32-x)} - 1\right)$$

beschrieben.

a)(5)

In der Seitenansicht schließen der rechte Pfeiler, das dazugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück ein.

Ermitteln Sie den tatsächlichen Flächeninhalt dieses Stücks.

Im mittleren Brückenabschnitt verbinden senkrecht verlaufende Halteseile die Fahrbahn mit dem Tragseil. Zu den Pfeilern und untereinander beträgt ihr horizontaler Abstand jeweils $16\text{ m}$. Den Verlauf des Tragseils beschreibt modellhaft die Funktion

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$

beschrieben.

b)(4)

Geben Sie an, was der Term

$$(s(-20 + 1{,}6 \cdot 1) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 2) + \dots + s(-20 + 1{,}6 \cdot 23) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 24)) \cdot 10$$

an, welche Bedeutung er im Sachzusammenhang hat, und begründen Sie Ihre Angabe.