Aufgabe MMS 1 - 3 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analysis (CAS) (2023)

Aufgabenstellung

Aufgabe 3

Ein Bewässerungskanal wird durch Öffnen einer Schleuse in Betrieb genommen.

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ beschreibt für $x \ge 0$ die zeitliche Entwicklung der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Sekunden und $w(x)$ die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$ .

Betrachtet wird der Zeitraum der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn. Beschreiben Sie unter Verwendung geeigneter Flächen die graphische Bedeutung der folgenden Aussage: Für den betrachteten Zeitraum beträgt die mittlere Durchflussrate etwa $4\ \frac{\text{m}^3}{\text{s}}$ .

An der Messstelle fließen in einem Zeitraum von drei Sekunden dreizehn Kubikmeter Wasser vorbei. Berechnen Sie die dafür infrage kommenden Zeiträume.

1. Zeitraum: von ca. s bis ca. s

2. Zeitraum: von ca. s bis ca. s

Aufgabenstellung: Aufgabe MMS 1 - 3 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

c) Beschreiben Sie unter Verwendung geeigneter Flächen die graphische Bedeutung der Aussage bezüglich der mittleren Durchflussrate.

Lösung: Das Flächenstück, das der Graph von w mit der x-Achse und der Gerade mit der Gleichung x = 10 einschließt, hat etwa den gleichen Inhalt wie das Flächenstück, das die Gerade mit der Gleichung y = 4 mit der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x = 0 und x = 10 begrenzt.

e) Beginn des 1. Zeitraums

Lösung: $0{,}8$

e) Ende des 1. Zeitraums

Lösung: $3{,}8$

e) Beginn des 2. Zeitraums

Lösung: $4{,}4$

e) Ende des 2. Zeitraums

Lösung: $7{,}4$

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