Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2023

Zusammensetzungen einer Population Marienkäfer können durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} E \\ L \\ K \end{pmatrix}$ dargestellt werden, wobei $E$ die Anzahl der Eier, $L$ die Anzahl der Larven und $K$ die Anzahl der fertig entwickelten Käfer bezeichnet. Mithilfe der Gleichung $$\vec{v}_{n-1} = M^{-1} \cdot \vec{v}_n \quad \text{mit} \quad M^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{b} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{c} \\ \frac{1}{a} & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ kann aus der Zusammensetzung in einem Monat $n$ die Zusammensetzung im vorhergehenden Monat ermittelt werden.

a)

Es gilt $$(M^{-1})^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \frac{3}{c} \\ \frac{1}{60c} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{20} & 0 \end{pmatrix}$$ Bestimmen Sie den Wert von $a$. [2 BE]

b)

Es gilt $$(M^{-1})^3 = \begin{pmatrix} \frac{1}{20c} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{20c} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{20c} \end{pmatrix}$$ Beschreiben Sie in Abhängigkeit von $c$ mit $c > 0$, was sich daraus hinsichtlich der Entwicklung der Population mit fortschreitender Zeit schließen lässt. Gehen Sie dabei auch auf die Größe der Population ein. [3 BE]