Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Teilaufgabe a

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto e^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, in dem sich die Graphen von $p$ und $q$ treffen; er liegt auf der $y$-Achse. Die erste Ableitungsfunktion von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Teilaufgabe b

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x}$.

Die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ sowie die Punkte $P$ und $Q$ sind die Eckpunkte eines Rechtecks $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Teilaufgabe c

Ein Bewässerungskanal wird in Betrieb genommen, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$ den zeitlichen Verlauf der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beobachtungsbeginn und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Der Graph von $w$ ist in Abbildung 2 dargestellt.

Teilaufgabe a (2)

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine Tangente teilen, und geben Sie für diese Tangente eine Gleichung an.

Teilaufgabe b (2)

Berechnen Sie die Koordinaten der zwei Extrempunkte des Graphen von $h$ und den Abstand, den diese Punkte voneinander haben.

Tiefpunkt $T$:

Hochpunkt $H$:

Abstand $d$:

Teilaufgabe b (3)

Zusammen mit den Punkten $P$ und $Q$ bilden die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ das Rechteck $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Ermitteln Sie, welchen Anteil der Flächeninhalt des schraffierten Teilstücks am Flächeninhalt des Rechtecks hat.

Teilaufgabe c (2)

Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die momentane Änderungsrate von $w$ gleich der mittleren Änderungsrate von $w$ auf dem Intervall $[0;10]$ ist.

Teilaufgabe c (3)

Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate zu dem Zeitpunkt innerhalb der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, an dem diese Rate am stärksten sinkt.