Aufgabe f · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

f) Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}, \; r, s \in \mathbb{R}$.

Abbildung 2 zeigt einen Ausschnitt der Ebene $E$.

(1) (i)

Das in Abbildung 2 dargestellte Parallelogramm liegt in der Ebene $E$ und lässt sich beschreiben durch

$\vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}, \; a \le r \le b, \; c \le s \le d$,

wobei $a, b, c$ und $d$ ganzzahlig sind.

Geben Sie anhand von Abbildung 2 die Werte $a, b, c$ und $d$ an.

$a =$

$b =$

$c =$

$d =$

(1) (ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 diejenigen Punkte der Ebene $E$ ein, die sich ergeben, wenn in die Parametergleichung von $E$ für $r$ und $s$ alle Parameterwerte mit $r \ge 0, \; s \ge 0$ und $r + s = 1$ eingesetzt werden.

(2)

Es gilt:

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \\ -8 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \; r, s \in \mathbb{R}.$$

Ermitteln Sie für $E$ eine Gleichung in Normalenform.