Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ bildet ein Rechteck in der $x_1x_2$-Ebene, und $B_1B_2B_3B_4$ bildet ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Der Körper $K$ gehört zu einem mathematischen Modell, mit dem ein Architekturbüro ein neues Hotel plant. Dieses soll aus drei gleichförmigen Gebäuden bestehen (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch den Körper $K$ dargestellt; die Gebäude II und III entstehen aus Gebäude I jeweils durch eine Drehung um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass sich ein dreieckiger Innenhof ergibt, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 3 ist das Hotelmodell in der Ansicht von oben dargestellt.

a)

(1)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $B_1$ an.

( | |)

(2)

Begründen Sie, weshalb es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie das Volumen des Körpers $K$.

(3)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den $\overline{A_2A_3}$ und $\overline{A_2B_2}$ einschließen.

°

b)

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

(1)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten von Punkt $P$.

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\Big|0\Big|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

( | |)

(2)

Berechnen Sie die Entfernung des Punktes $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$.