Aufgabe B5 - Teilaufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Abbildung 1 stellt die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke schematisch dar. Zwischen den beiden vertikalen Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Die Fahrbahn befindet sich $20\text{ m}$ über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Oben an jedem Pfeiler sind das Tragseil des mittleren Abschnitts sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts angebracht. Jedes der beiden Abspannseile ist am zugehörigen Fahrbahnende verankert.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der horizontalen Fahrbahn, die $y$-Achse auf der Symmetrieachse.

b) Betrachtet wird nun der mittlere Teil der Brücke. Die senkrecht angeordneten Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Zu den Pfeilern und zueinander beträgt ihr horizontaler Abstand jeweils 16 m.

Den Verlauf des Tragseils beschreibt man im Modell mit dem Funktionsterm

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot \left(x^4 + 2560x^2\right) + \frac{125}{256}$$

beschrieben.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ dazu passt, dass die Brücke in der Seitenansicht achsensymmetrisch ist.

(2)

Im mittleren Brückenabschnitt sind zwei Halteseile jeweils $\frac{643061}{64000}\text{ m} \; [\approx 10{,}00\text{ m}]$.

Zeigen Sie rechnerisch, dass sich diese Halteseile im Modell an den Stellen $x = -7{,}2$ und $x = 7{,}2$ befinden, d. h. 72 m links bzw. rechts der Brückenmitte.

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils horizontal 40 m auseinander und unterscheiden sich in der Höhe um 5 m.

(4)

Geben Sie an, was der Term

$$(s(-20 + 1{,}6 \cdot 1) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 2) + \dots + s(-20 + 1{,}6 \cdot 23) + s(-20 + 1{,}6 \cdot 24)) \cdot 10$$

im Sachzusammenhang bedeutet, und begründen Sie Ihre Angabe.