Aufgabe B3 - Teilaufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung:

Der Körper $K$ in Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

$A_1A_2A_3A_4$ ist ein Rechteck, das in der $x_1x_2$-Ebene liegt; $B_1B_2B_3B_4$ ist ein Rechteck in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die zur $x_1x_3$-Ebene parallel sind.

Für sechs der Eckpunkte gilt:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$,

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$,

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$,

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$,

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$,

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$.

Das Hotel besteht aus drei Gebäuden mit identischer Form. Gebäude I wird durch den Körper $K$ modelliert; die Gebäude II und III entstehen, indem Gebäude I jeweils um $120^\circ$ gedreht wird (siehe Abbildung 4). Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass sich ein dreieckiger Innenhof ergibt. Im Modell befindet sich dieser Innenhof in der $x_1x_2$-Ebene.

c) Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

(1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $P$ rechnerisch.

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\Big|0\Big|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

$P\,($ $|$ $|$ $)$

(2)

Berechnen Sie die Entfernung des Punktes $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$.