Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2023

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte kommt genau einmal vor, lediglich die Abfolge darf variiert werden. Betrachtet wird stets nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Führt man die drei Schritte an $G_f$ in der genannten Reihenfolge durch, ergibt sich der Graph der Funktion $g$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit $$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$ In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort.

Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres verstrichen ist, und $g(x)$ für die Temperatur in °C.

Abbildung 2 stellt modellhaft den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur für einen anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres dar.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit $$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \ a, b, c, d, e \in \mathbb{R}$$ modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

a) (3)

Der Graph $G_f$ besitzt zwei Extrempunkte. Zeigen Sie, dass es sich bei einem davon um einen Tiefpunkt mit der $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ handelt.

a) (4)

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente $t$, die $G_f$ im Punkt $P(6|f(6))$ berührt.

[Zur Kontrolle: $t: y = \frac{8}{3}x - 16$.]

c) (2)

Geben Sie die Wendestelle von $g$ an. Beschreiben Sie, was diese Wendestelle für den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur bedeutet.

c) (3)

Die nachstehenden Rechnungen stellen gemeinsam mit Abbildung 1 den Lösungsweg zu einer Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

$$g'(x) = 0 \iff x = 6 - \sqrt{12} \;\lor\; x = 6 + \sqrt{12}$$$$g(6 + \sqrt{12}) - g(6 - \sqrt{12}) \approx 6{,}2$$

Geben Sie eine dazu passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie das dargestellte Vorgehen bei der Lösung.