Abitur NRW Mathematik 2023 · GK · Haupttermin · CAS

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit$$f(x)=x^3-6\cdot x^2+3\cdot x+10,\ x\in\mathbb{R},$$und$$g(x)=-6\cdot x+10,\ x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. berühren, also gemeinsame Punkte haben.

(2)

Der Punkt $P(3\mid f(3))$ gehört zu den gemeinsamen Punkten der Graphen von $f$ und $g$.

Zeigen Sie, dass der Graph von $g$ im Punkt $P$ die Tangente an den Graphen von $f$ ist.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung$$f(x)=3\cdot x^2-12,\ x\in\mathbb{R}.$$

(i)

Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.

(ii)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den der Graph von $f$ und die $x$-Achse miteinander einschließen.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

c) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Funktionsgleichung $$f(x)=x^2 \cdot e^x, \; x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Zeigen Sie: $f'(x)=x\cdot (x+2)\cdot e^x$.

(2)

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion $f$ sowie deren Art (z. B. mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums).

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

d) Betrachtet werden die Gerade $$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} \text{ mit } s \in \mathbb{R}$$ und die Gerade $h$, die durch die Punkte $A(4|0|0)$ und $B(5|1|b)$ verläuft, wobei $b$ eine reelle Zahl ist.

(1)

Begründen Sie, warum der Punkt $A$ nicht auf $g$ liegt.

(2)

Die Geraden $g$ und $h$ schneiden sich in einem Punkt. Ermitteln Sie den zugehörigen Wert von $b$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

e) Die Punkte $A(-1|3|2)$, $B(1|2|4)$ und $C(2|4|-1)$ sind vorgegeben.

(1)

Untersuchen Sie, ob im Dreieck $ABC$ bei $A$ ein rechter Winkel vorliegt.

Ja

Nein

(2)

Die Gerade $g$ verläuft durch $A$ und $B$. Auf $g$ liegen die Punkte $P$ und $Q$, die jeweils $9\text{ LE}$ von $A$ entfernt sind. Ermitteln Sie die Koordinaten von $P$ und $Q$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit$$f(x)=x^3-6\cdot x^2+3\cdot x+10, \; x \in \mathbb{R},$$und$$g(x)=-6\cdot x+10, \; x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen die Graphen von $f$ und $g$ gemeinsame Punkte haben.

(2)

Einer der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $g$ ist $P(3 \mid f(3))$.

Zeigen Sie, dass der Graph von $g$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P$ ist.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

b) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung$$f(x)=3\cdot x^2-12, \; x \in \mathbb{R}.$$

(i)

Berechnen Sie sämtliche Nullstellen der Funktion $f$.

(ii)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den der Graph von $f$ mit der $x$-Achse einschließt.

FE

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

c) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung$$f(x)=x^2\cdot\mathrm{e}^x, \; x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Zeigen Sie: $f'(x)=x\cdot(x+2)\cdot\mathrm{e}^x$.

(2)

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion $f$ sowie deren Art (z. B. mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums).

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

d) (1) Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 1-1 bis 1-3 zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen dreier binomialverteilter Zufallsgrößen $A$, $B$ und $C$. Für alle gilt $n = 10$. Jeder Zufallsgröße ist genau eine der Wahrscheinlichkeiten $p_1 = 0{,}2$, $p_2 = 0{,}4$ und $p_3 = 0{,}8$ zugeordnet.

Ordnen Sie jedem der Histogramme I bis III die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu.

I:

II:

III:

(2) Die Zufallsgröße $X$ ist ebenfalls binomialverteilt mit $n = 10$.

Abbildung 2 zeigt das Histogramm der Verteilung, das nicht vollständig ist.

Es gilt: $P(X \ge 4) \approx 0{,}35$.

(i)

Ermitteln Sie einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit $P(X \le 2)$.

(ii)

Ermitteln Sie einen Näherungswert für die Wahrscheinlichkeit $P(X = 3)$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

e)

(1)

Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit den Parametern $n$ und $p = 0{,}2$. Für die Standardabweichung $\sigma$ von $X$ gilt dabei: $\sigma = 1{,}2$.

Berechnen Sie $n$.

(2)

Eine Urne enthält $2$ schwarze und $8$ weiße Kugeln. Es wird neunmal nacheinander eine Kugel mit Zurücklegen aus der Urne gezogen.

(i)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass genau zwei der gezogenen Kugeln schwarz sind.

(ii)

Beschreiben Sie im Sachzusammenhang der Aufgabe ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit durch $0{,}2^2 \cdot \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot 0{,}2^3 \cdot 0{,}8^4$ gegeben ist.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit$$f(x)=x^3-6\cdot x^2+3\cdot x+10, x \in \mathbb{R},$$und$$g(x)=-6\cdot x+10, x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Berechnen Sie diejenigen Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden bzw. berühren, also gemeinsame Punkte haben.

(2)

Der Punkt $P(3\mid f(3))$ gehört zu den gemeinsamen Punkten der Graphen von $f$ und $g$.

Zeigen Sie, dass der Graph von $g$ im Punkt $P$ den Graphen von $f$ tangiert.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

b) Die Funktion $f$ ist gegeben durch die Gleichung$$f(x)=3\cdot x^2-12, x \in \mathbb{R}.$$

(i)

Berechnen Sie die Nullstellen von $f$.

(ii)

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$-Achse miteinander einschließen.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

c) Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = x^2 \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Zeigen Sie, dass gilt: $f'(x) = x \cdot (x + 2) \cdot \mathrm{e}^x$.

(2)

Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion $f$ sowie deren Art (z. B. mithilfe des Vorzeichenwechselkriteriums).

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

d) Betrachtet werden die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -7 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}$ mit $s \in \mathbb{R}$ und die Gerade $h$, die durch die Punkte $A(4 \mid 0 \mid 0)$ und $B(5 \mid 1 \mid b)$ verläuft, wobei $b$ eine reelle Zahl ist.

(1)

Begründen Sie, weshalb der Punkt $A$ nicht auf $g$ liegt.

(2)

Es existiert ein Punkt, der sowohl auf $g$ als auch auf $h$ liegt.

Ermitteln Sie den Wert von $b$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

e)

(1) Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 1-1 bis 1-3 zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der binomialverteilten Zufallsgrößen $A$, $B$ und $C$. Für alle drei gilt $n = 10$. Jeder Zufallsgröße entspricht genau eine der Wahrscheinlichkeiten $p_1 = 0{,}2$, $p_2 = 0{,}4$ und $p_3 = 0{,}8$.

Ordnen Sie jedem der Histogramme I bis III die zu ihm passende Wahrscheinlichkeit zu.

Histogramm I:

Histogramm II:

Histogramm III:

(2) Die Zufallsgröße $X$ ist ebenfalls binomialverteilt, und zwar mit $n = 10$.

Abbildung 2 zeigt das Histogramm der Verteilung, das nicht vollständig ist.

Bekannt ist: $P(X \ge 4) \approx 0{,}35$.

(i)

Ermitteln Sie für die Wahrscheinlichkeit $P(X \le 2)$ einen Näherungswert.

(ii)

Ermitteln Sie für die Wahrscheinlichkeit $P(X = 3)$ einen Näherungswert.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Teilaufgabe a

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto e^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, in dem sich die Graphen von $p$ und $q$ treffen; er liegt auf der $y$-Achse. Die erste Ableitungsfunktion von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Teilaufgabe b

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x}$.

Die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ sowie die Punkte $P$ und $Q$ sind die Eckpunkte eines Rechtecks $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Teilaufgabe c

Ein Bewässerungskanal wird in Betrieb genommen, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$ den zeitlichen Verlauf der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beobachtungsbeginn und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Der Graph von $w$ ist in Abbildung 2 dargestellt.

Teilaufgabe a (1)

Für die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$ gilt für die erste Ableitungsfunktion $q'(x) = -q(x)$.

Beschreiben Sie, durch welche Transformation sich der Graph von $q'$ aus dem Graphen von $q$ ergibt.

Teilaufgabe c (1)

Für $x \to \infty$ gilt $w(x) \to c$.

Geben Sie sowohl den Wert $c$ als auch dessen Bedeutung im Sachzusammenhang an.

Wert $c$:

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Teilaufgabe a

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto e^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, in dem sich die Graphen von $p$ und $q$ treffen; er liegt auf der $y$-Achse. Die erste Ableitungsfunktion von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Teilaufgabe b

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x}$.

Die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ sowie die Punkte $P$ und $Q$ sind die Eckpunkte eines Rechtecks $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Teilaufgabe c

Ein Bewässerungskanal wird in Betrieb genommen, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$ den zeitlichen Verlauf der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beobachtungsbeginn und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Der Graph von $w$ ist in Abbildung 2 dargestellt.

Teilaufgabe a (2)

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine Tangente teilen, und geben Sie für diese Tangente eine Gleichung an.

Teilaufgabe b (2)

Berechnen Sie die Koordinaten der zwei Extrempunkte des Graphen von $h$ und den Abstand, den diese Punkte voneinander haben.

Tiefpunkt $T$:

Hochpunkt $H$:

Abstand $d$:

Teilaufgabe b (3)

Zusammen mit den Punkten $P$ und $Q$ bilden die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ das Rechteck $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Ermitteln Sie, welchen Anteil der Flächeninhalt des schraffierten Teilstücks am Flächeninhalt des Rechtecks hat.

Teilaufgabe c (2)

Bestimmen Sie alle Stellen, an denen die momentane Änderungsrate von $w$ gleich der mittleren Änderungsrate von $w$ auf dem Intervall $[0;10]$ ist.

Teilaufgabe c (3)

Bestimmen Sie die momentane Durchflussrate zu dem Zeitpunkt innerhalb der ersten zehn Sekunden nach Beobachtungsbeginn, an dem diese Rate am stärksten sinkt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Teilaufgabe a

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto e^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, in dem sich die Graphen von $p$ und $q$ treffen; er liegt auf der $y$-Achse. Die erste Ableitungsfunktion von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Teilaufgabe b

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x}$.

Die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ sowie die Punkte $P$ und $Q$ sind die Eckpunkte eines Rechtecks $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Teilaufgabe c

Ein Bewässerungskanal wird in Betrieb genommen, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$ den zeitlichen Verlauf der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beobachtungsbeginn und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Der Graph von $w$ ist in Abbildung 2 dargestellt.

Teilaufgabe a (3)

Geben Sie an, welchen Wert das Integral $\int_0^2 (q(x) - p(x))\,\mathrm{d}x$ hat, und interpretieren Sie diesen Wert in geometrischer Hinsicht.

Wert des Integrals:

Teilaufgabe b (1)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $h$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Teilaufgabe c (4)

(i)

Bestimmen Sie, wie viel Wasser in den ersten zwei Sekunden nach Beobachtungsbeginn die Messstelle passiert.

(ii)

Innerhalb eines Zeitraums von drei Sekunden passieren dreizehn Kubikmeter Wasser die Messstelle.

Berechnen Sie, welche Zeiträume hierfür in Betracht kommen.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte wird genau einmal durchgeführt, lediglich die Reihenfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Wird $G_f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der Funktion $g$. Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ besitzt die Gleichung:$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort wird, beginnend mit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres, modellhaft wiedergegeben:

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \, a, b, c, d, e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Aufgabe B2 – Teilaufgaben a(1), b und c(1)

a) (1)

Begründen Sie, weshalb $G_f$ punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt $(0|0)$ verläuft.

Bestimmen Sie die Koordinaten aller Punkte, in denen $G_f$ die Koordinatenachsen schneidet.

b)

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Die Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um $6$ in positive $x$-Richtung.

Verschieben um $14$ in positive $y$-Richtung.

Dabei kommt jeder Schritt genau einmal vor; lediglich die Reihenfolge ist variabel. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Geben Sie die Anzahl der verschiedenen neuen Graphen an, die sich auf diese Weise aus $G_f$ erzeugen lassen. Begründen Sie Ihre Angabe.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte wird genau einmal durchgeführt, lediglich die Reihenfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Wird $G_f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der Funktion $g$. Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ besitzt die Gleichung:$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort wird, beginnend mit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres, modellhaft wiedergegeben:

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \, a, b, c, d, e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Aufgabe B2 – Differentialrechnung

a) (3)

Der Graph $G_f$ besitzt zwei Extrempunkte. Zeigen Sie, dass es sich bei einem davon um einen Tiefpunkt handelt, dessen $x$-Koordinate $\sqrt{12}$ beträgt.

a) (4)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente $t$, die $G_f$ im Punkt $P(6|f(6))$ berührt.

c) (2)

Geben Sie die Wendestelle von $g$ an und beschreiben Sie, was diese Wendestelle für den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur bedeutet.

c) (3)

Die folgenden Rechnungen stellen zusammen mit Abbildung 1 den Lösungsweg einer Aufgabe mit Sachbezug dar:

$$g'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 6 - \sqrt{12} \;\lor\; x = 6 + \sqrt{12}$$

$$g(6 + \sqrt{12}) - g(6 - \sqrt{12}) \approx 6{,}2$$

Geben Sie eine dazu passende Aufgabenstellung an und erläutern Sie den gezeigten Lösungsweg.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte wird genau einmal durchgeführt, lediglich die Reihenfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Wird $G_f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der Funktion $g$. Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ besitzt die Gleichung:$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort wird, beginnend mit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres, modellhaft wiedergegeben:

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \, a, b, c, d, e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

(4) Abbildung 2 zeigt modellhaft, wie sich die Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort ab einem bestimmten Tag des Kalenderjahres entwickelt.

(i)

Begründen Sie, weshalb eine ganzrationale Funktion, die den in Abbildung 2 gezeigten Verlauf modellieren soll, mindestens vom Grad 4 sein sollte.

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte wird genau einmal durchgeführt, lediglich die Reihenfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Wird $G_f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der Funktion $g$. Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ besitzt die Gleichung:$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort wird, beginnend mit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres, modellhaft wiedergegeben:

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \, a, b, c, d, e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit

$$h(x) = a\cdot x^4 + b\cdot x^3 + c\cdot x^2 + d\cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R},\; a,b,c,d,e \in \mathbb{R},$$

modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

(ii)

Die Funktion $h$ soll im Modell die folgenden Bedingungen erfüllen:

Bei $x = 1$ wird die niedrigste Tagesdurchschnittstemperatur erreicht, bei $x = 7$ die höchste mit $17^\circ\text{C}$. An der Stelle $x = 10{,}5$ sinkt die Tagesdurchschnittstemperatur am stärksten, und zwar mit einer Rate von $-4{,}2^\circ\text{C}$ pro Monat.

Stellen Sie anhand dieser Bedingungen ein Gleichungssystem auf, mit dem $a$, $b$, $c$, $d$ und $e$ bestimmt werden können.

[Die Werte müssen nicht berechnet werden.]

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{27}x^3 - \frac{4}{3}x$. Ihr Graph $G_f$ hat den Wendepunkt $(0|0)$.

Ausgehend von $G_f$ entstehen durch drei Schritte neue Graphen. Diese Schritte lauten:

Spiegeln an der $x$-Achse.

Verschieben um 6 in positive $x$-Richtung.

Verschieben um 14 in positive $y$-Richtung.

Jeder der Schritte wird genau einmal durchgeführt, lediglich die Reihenfolge darf variieren. Betrachtet wird jeweils nur der Graph, der nach allen drei Schritten vorliegt.

Wird $G_f$ den drei Schritten in der angegebenen Reihenfolge unterzogen, so entsteht der Graph der Funktion $g$. Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ besitzt die Gleichung:$$g(x) = -\frac{1}{27}x \cdot (x-6) \cdot (x-12) + 14$$In einem Modell, das aus langjährigen Messungen gewonnen wurde, beschreibt $g$ für $0 \le x < 12$ den Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem bestimmten Ort. Dabei ist $x$ die seit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $g(x)$ die Temperatur in °C.

Der Verlauf der Tagesdurchschnittstemperatur an einem anderen Ort wird, beginnend mit einem bestimmten Tag des Kalenderjahres, modellhaft wiedergegeben:

Der Verlauf soll mithilfe einer ganzrationalen Funktion $h$ mit$$h(x) = a \cdot x^4 + b \cdot x^3 + c \cdot x^2 + d \cdot x + e, \quad x \in \mathbb{R}, \, a, b, c, d, e \in \mathbb{R},$$modelliert werden. Dabei soll $x$ die seit dem bestimmten Tag des Kalenderjahres vergangene Zeit in Monaten und $h(x)$ die Tagesdurchschnittstemperatur in °C sein.

(2)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_{-b}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$, $b \in \mathbb{R}, b > 0$, und erklären Sie das Ergebnis.

(5)

(i) Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der von $G_f$ und $t$ umschlossen wird.

(ii) Die $y$-Achse teilt die von $G_f$ und $t$ umschlossene Fläche in zwei Teilflächen.

Ermitteln Sie, welchen Anteil die linke Teilfläche an der gesamten von $G_f$ und $t$ umschlossenen Fläche hat.

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

Das Rechteck $A_1A_2A_3A_4$ liegt in der $x_1x_2$-Ebene, das Rechteck $B_1B_2B_3B_4$ liegt in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die parallel zur $x_1x_3$-Ebene sind.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Ein Architekturbüro plant ein neues Hotel aus drei gleichförmigen Gebäuden und nutzt dafür ein mathematisches Modell, in dem $K$ enthalten ist (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch den Körper $K$ dargestellt; Gebäude II und III entstehen jeweils durch eine Drehung von Gebäude I um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 3 ist das Hotelmodell in der Ansicht von oben dargestellt.

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $B_1$ besitzt.

a) (2)

Begründen Sie, dass es sich bei der Seitenfläche $A_2A_3B_3B_2$ um ein Trapez handelt, und berechnen Sie den Rauminhalt des Körpers $K$.

a) (3)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den $\overline{A_2A_3}$ und $\overline{A_2B_2}$ einschließen.

°

Teilaufgabe b

Der Innenhof $A_4A_3P$ ist ein gleichseitiges Dreieck.

b) (1)

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes $P$ auf rechnerischem Weg.

[Zur Kontrolle: $P\left(-\frac{2\cdot\sqrt{75}}{3}\Big|0\Big|0\right) \approx P(-5{,}77|0|0)$]

b) (2)

Berechnen Sie, wie weit $A_4$ vom Koordinatenursprung $O(0|0|0)$ entfernt ist.

Der Körper $K$ aus Abbildung 1 besitzt die Eckpunkte $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $B_1$, $B_2$, $B_3$ und $B_4$ und weist die folgenden Merkmale auf:

Das Rechteck $A_1A_2A_3A_4$ liegt in der $x_1x_2$-Ebene, das Rechteck $B_1B_2B_3B_4$ liegt in einer Ebene parallel zur $x_1x_2$-Ebene. Die Vierecke $A_2A_3B_3B_2$ und $A_1A_4B_4B_1$ befinden sich in Ebenen, die parallel zur $x_1x_3$-Ebene sind.

Die Koordinaten von sechs Eckpunkten lauten:

$A_1(50 \mid -5 \mid 0)$

$A_2(50 \mid 5 \mid 0)$

$A_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 0\right)$

$A_4\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; -5 \;\middle|\; 0\right)$

$B_2(10 \mid 5 \mid 30)$

$B_3\left(\frac{\sqrt{75}}{3} \;\middle|\; 5 \;\middle|\; 30\right)$

Ein Architekturbüro plant ein neues Hotel aus drei gleichförmigen Gebäuden und nutzt dafür ein mathematisches Modell, in dem $K$ enthalten ist (siehe Abbildung 2). Gebäude I wird durch den Körper $K$ dargestellt; Gebäude II und III entstehen jeweils durch eine Drehung von Gebäude I um $120^\circ$. Die drei Gebäude grenzen so aneinander, dass ein dreieckiger Innenhof entsteht, der im Modell in der $x_1x_2$-Ebene liegt.

In Abbildung 3 ist das Hotelmodell in der Ansicht von oben dargestellt.

Teilaufgabe c)

c) (1)

Begründen Sie, dass

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 50 \\ -5 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -40 \\ 10 \\ 30 \end{pmatrix}, \quad r, s \in \mathbb{R},$$

die Ebene beschreibt, in der die Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

c) (2)

Mittig im Innenhof befindet sich ein Mast mit der Spitze im Punkt $S(0|0|35)$. Zu einem gewissen Zeitpunkt fallen die Sonnenstrahlen in Richtung

$$\vec{r} = \begin{pmatrix} 6 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$

ein.

Untersuchen Sie, ob der Schatten der Mastspitze zu diesem Zeitpunkt in der Fläche $A_1A_2B_2B_1$ liegt.

$Q($

$|$

$|$

$)$

Aufgabenstellung:

Mitarbeitende eines Tourismusinstituts befragten repräsentativ $10\,000$ Personen einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen gelangt waren.

Es zeigte sich: $26\,\%$ der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei $16\,\%$ von ihnen reiste man mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) nutzte man in $10\,\%$ der Fälle die Bahn für die Anreise.

Die Prozentwerte sollen nachfolgend als Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse gelten.

a) (1) Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einem Baumdiagramm mit Beschriftung dar.

(2) Für eine Urlaubsreise im Jahr 2019 wurde die Bahn als Anreisemittel verwendet.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Reise eine Inlandsreise war.

(2)

Aufgabenstellung:

Mitarbeitende eines Tourismusinstituts befragten repräsentativ $10\,000$ Personen einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen gelangt waren.

Es zeigte sich: $26\,\%$ der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei $16\,\%$ von ihnen reiste man mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) nutzte man in $10\,\%$ der Fälle die Bahn für die Anreise.

Die Prozentwerte sollen nachfolgend als Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse gelten.

b) Die Befragung wird erweitert: Hierfür werden zufällig 20 der Fragebögen zu den Urlaubsreisen herausgegriffen, und mit den jeweiligen Befragten werden Interviews geführt.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele der 20 Urlaubsreisen Inlandsreisen sind.

(1)

Erläutern Sie, weshalb sich $P(X=k)$ für $0 \leq k \leq 20$ näherungsweise mithilfe einer Binomialverteilung berechnen lässt.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 20 Urlaubsreisen mindestens sechs Inlandsreisen sind.

(3)

Bestimmen Sie für die 20 Urlaubsreisen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der Inlandsreisen innerhalb der $2\sigma$-Umgebung um den Erwartungswert von $X$ liegt.

c) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl an Fragebögen, die ausgewählt werden muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $99\,\%$ bei mindestens fünf dieser Fragebögen eine Auslandsreise angegeben ist.

Aufgabenstellung:

Mitarbeitende eines Tourismusinstituts befragten repräsentativ $10\,000$ Personen einer Region, die im Jahr 2019 verreist waren.

Alle nachfolgenden Aussagen und Fragen betreffen diese Region.

Die Befragten füllten für jede Urlaubsreise einen Fragebogen aus, der unter anderem erfasste, mit welchen Verkehrsmitteln sie zu welchen Reisezielen gelangt waren.

Es zeigte sich: $26\,\%$ der Urlaubsreisen führten ins Inland (kurz: Inlandsreisen); bei $16\,\%$ von ihnen reiste man mit der Bahn an. Bei den Urlaubsreisen ins Ausland (kurz: Auslandsreisen) nutzte man in $10\,\%$ der Fälle die Bahn für die Anreise.

Die Prozentwerte sollen nachfolgend als Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse gelten.

d) Die Mitarbeitenden des Instituts für Tourismus vermuten, dass in der Region der Anteil der Inlandsreisen 2022 höher liegt als 2019.

Um dies zu untersuchen, wird bei 100 Reisen aus dem Jahr 2022 festgehalten, ob es eine Inlands- oder eine Auslandsreise war.

Sind es 34 oder mehr Inlandsreisen, nimmt das Team an, dass der Anteil der Inlandsreisen gestiegen ist.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Team irrtümlich einen gestiegenen Anteil an Inlandsreisen annimmt, obwohl der Anteil gleich geblieben ist.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Team von einem unveränderten Anteil von Inlandsreisen ausgeht, wenn dieser Anteil tatsächlich aber auf $30\,\%$ gestiegen ist.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrecht stehenden Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Das Wasser befindet sich $20\text{ m}$ unter der Fahrbahn.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. An der Spitze eines jeden Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Teils sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils angebracht. Die Abspannseile haben ihre Verankerung jeweils am Ende der Fahrbahn.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn und die $y$-Achse auf der Symmetrieachse der Brücke.

Teilaufgabe a)

Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils im Modell durch den folgenden Funktionsterm dargestellt:

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$

beschrieben.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gesamtlänge der Fahrbahn der Brücke 640 m beträgt.

(2)

Auch für den linken Brückenabschnitt lässt sich der Verlauf des Abspannseils im Modell mit einem Funktionsterm beschreiben.

Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ an und nennen Sie das Intervall, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

(3)

Berechnen Sie, wie hoch die Pfeiler über der Wasseroberfläche liegen.

Teilaufgabe b)

Nun geht es um den mittleren Brückenabschnitt. Der Verlauf des Tragseils wird im Modell durch folgenden Funktionsterm dargestellt:

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot (x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$

beschrieben.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ zur Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke passt.

(2)

Zwei Halteseile im mittleren Brückenabschnitt sind jeweils so lang wie $\frac{643061}{64000}\text{ m } [\approx 10{,}00\text{ m}]$.

Berechnen Sie, an welchen Stellen in der Realität sich diese Halteseile befinden.

(3)

In der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen zwei Punkte des Tragseils, die horizontal 40 m voneinander entfernt sind und sich in der Höhe um 5 m unterscheiden.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich die $x$-Koordinate des höheren Punkts im Modell bestimmen lässt.

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrecht stehenden Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Das Wasser befindet sich $20\text{ m}$ unter der Fahrbahn.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. An der Spitze eines jeden Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Teils sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils angebracht. Die Abspannseile haben ihre Verankerung jeweils am Ende der Fahrbahn.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn und die $y$-Achse auf der Symmetrieachse der Brücke.

(4) Untersuchen Sie durch Rechnung, ob die Steigung des rechten Abspannseils an der Stelle, an der es den zugehörigen Pfeiler erreicht, einen Wert zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ hat.

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt vereinfacht die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke dar. Zwischen den beiden senkrecht stehenden Pfeilern beträgt der Abstand $400\text{ m}$. Das Wasser befindet sich $20\text{ m}$ unter der Fahrbahn.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Teil unterteilt. An der Spitze eines jeden Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Teils sowie das Abspannseil des linken bzw. rechten Teils angebracht. Die Abspannseile haben ihre Verankerung jeweils am Ende der Fahrbahn.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für $10\text{ m}$ in der Wirklichkeit. In der Seitenansicht liegt die $x$-Achse auf der waagerechten Fahrbahn und die $y$-Achse auf der Symmetrieachse der Brücke.

(5) Von der Seite betrachtet schließen der rechte Pfeiler, das dazugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück ein.

Ermitteln Sie den tatsächlichen Flächeninhalt dieses Flächenstücks.