Aufgabe d · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung LK · Nachtermin · GTR (2023)

Aufgabenstellung

Betrachtet werden die Funktionen ff und gg mitf(x)=(2⋅x−1)⋅e2⋅x,x∈R,f(x) = (2\cdot x - 1)\cdot e^{2\cdot x}, \quad x \in \mathbb{R},undg(x)=−x⋅e2⋅x,x∈R.g(x) = -x\cdot e^{2\cdot x}, \quad x \in \mathbb{R}.Abbildung 1 zeigt die Graphen beider Funktionen.

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich die beiden Funktionsgraphen ausschließlich an der Stelle x=13x = \frac{1}{3} schneiden.

Außerdem sei die Funktion DD mit D(x)=(−32⋅x+54)⋅e2⋅x,x∈RD(x) = \left(-\frac{3}{2}\cdot x + \frac{5}{4}\right)\cdot e^{2\cdot x}, \quad x \in \mathbb{R}, vorgegeben.

(2)

Weisen Sie nach, dass DD eine Stammfunktion der Differenzfunktion dd mit d(x)=g(x)−f(x)d(x) = g(x) - f(x) darstellt.

(3)

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

Aufgabenstellung: Aufgabe d · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Weisen Sie rechnerisch nach, dass sich die beiden Funktionsgraphen ausschließlich an der Stelle x = 1/3 schneiden.

Lösung: f(x)=g(x)  ⟺  (2⋅x−1)⋅e2⋅x=−x⋅e2⋅x  ⟺  3⋅x−1=0  ⟺  x=13f(x) = g(x) \iff (2\cdot x - 1)\cdot e^{2\cdot x} = -x\cdot e^{2\cdot x} \iff 3\cdot x - 1 = 0 \iff x = \frac{1}{3}

(2) Weisen Sie nach, dass D eine Stammfunktion der Differenzfunktion d mit d(x) = g(x) - f(x) darstellt.

Lösung: D′(x)=−32⋅e2⋅x+(−32⋅x+54)⋅2⋅e2⋅x=(−3⋅x+1)⋅e2⋅x=g(x)−f(x)D'(x) = -\frac{3}{2}\cdot e^{2\cdot x} + \left(-\frac{3}{2}\cdot x + \frac{5}{4}\right)\cdot 2\cdot e^{2\cdot x} = (-3\cdot x + 1)\cdot e^{2\cdot x} = g(x) - f(x)

(3) Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

Lösung: 3/4 * e^(2/3) - 5/4

Die ausführliche Erklärung Schritt für Schritt (mit KI) gibt es mit Premium. Premium

Löse sie direkt hier: automatische Korrektur, Hinweise und Lösung Schritt für Schritt.

‹ Aufgabe c(2) - Stammfunktion · LK · Nachtermin · GTR 2023 · Aufgabe B1 - Integralrechnung · LK · Nachtermin · GTR 2023 ›

Mehr Aufgaben zu Integralrechnung: Flächen und Bestände