Aufgabe MMS 2 - 2 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeits… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2023

Ein großes Reiseunternehmen führt auf seinen Internetseiten ein kostenloses Gewinnspiel durch. Jede Person kann nur einmal an dem Spiel teilnehmen. Als Ergebnis des Spiels wird eine bestimmte Anzahl von Strandkörben angezeigt; diese Anzahl beträgt mindestens 1 und höchstens 5. Im Folgenden sind dazu die möglichen Gewinne beschrieben:

Unter den teilnehmenden Personen, bei denen nur ein Strandkorb angezeigt wird, werden Sachgewinne verlost.

Die teilnehmenden Personen mit zwei, drei, vier oder fünf Strandkörben erhalten jeweils einen Reisegutschein. Der folgenden Tabelle können die Werte der Gutscheine sowie die Wahrscheinlichkeiten für diese Gewinne entnommen werden.

Anzahl der Strandkörbe · 2 · 3 · 4 · 5

Wert des Gutscheins in € · 200 · 500 · 1000 · 10 000

Wahrscheinlichkeit · $8 \cdot 10^{-4}$ · $5 \cdot 10^{-5}$ · $2 \cdot 10^{-5}$ · $3 \cdot 10^{-6}$

Bei dem Spiel beträgt der Erwartungswert des Gewinns pro Person 43,5 Cent.

a)

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dem Spiel nur ein Strandkorb angezeigt wird, um weniger als ein Tausendstel von 1 abweicht. Bestimmen Sie für die Personen mit einem Strandkorb den Erwartungswert des Gewinns pro Person.

b)

Es soll davon ausgegangen werden, dass $80\,000$ Personen an dem Spiel teilnehmen werden. Der Erwartungswert der Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben wird mit $\mu$ bezeichnet. Ermitteln Sie den kleinsten möglichen ganzzahligen Wert von $c$, für den die Anzahl der Personen mit zwei Strandkörben mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $80\,\%$ im Intervall $[\mu - c; \mu + c]$ liegt.