Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2023

Die Abbildung zeigt den Körper $ABCDEF$. Die Eckpunkte $A(4|0|0)$, $B(0|4|0)$ und $C(0|0|4)$ liegen in der Ebene $L_1: x + y + z = 4$, die Eckpunkte $D$, $E$ und $F$ jeweils auf einer Koordinatenachse und in der Ebene $L_2: 2x + 2y + 2z = 5$.

a)

Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC gleichseitig ist. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts G auf der Seite $\overline{AC}$, für den $|\overline{AG}|: |\overline{GC}| = 1: 3$ gilt.

c)

Entscheiden Sie, ob der Abstand von B und E kleiner als der Abstand von $L_1$ und $L_2$, größer als der Abstand von $L_1$ und $L_2$ oder genauso groß wie der Abstand von $L_1$ und $L_2$ ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung.

d)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den $L_2$ mit der xy-Ebene einschließt.

°

e)

Ausgehend vom Ansatz $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 4^2 \cdot 4 - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot k^2 \cdot k$ kann für einen Wert von $k \in \mathbb{R}$ das Volumen des Körpers ABCDEF berechnet werden. Erläutern Sie diesen Ansatz und bestimmen Sie den passenden Wert von k.

f)

Der Körper ABCDEF wird so um seine Kante $\overline{AB}$ gedreht, dass der mit C bezeichnete Eckpunkt des Körpers nach der Drehung in der xy-Ebene liegt und dabei eine positive x-Koordinate hat. Berechnen Sie die Koordinaten dieses Eckpunkts nach der Drehung.