Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2023

Aufgabenstellung

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = (x+0{,}5) \cdot (x-0{,}5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}$$

Durch die folgende Gleichung wird eine Funktionenschar $g_a$ festgelegt:

$$g_a(x) = (x+a) \cdot (x-a) \cdot e^x = (x^2 - a^2) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \; a > 0$$ In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $g_1$ zu sehen.

Die Funktion $h$ wird durch die folgende Gleichung beschrieben:

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Es gibt einen weiteren Punkt, in dem sich der Graph von $f$ und die Tangente $t$ schneiden.

(i)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$, die vom Graphen der Funktion $f$ und der Tangente $t$ begrenzt wird.

(ii)

Die Fläche $A$ reicht teilweise unter die $x$-Achse.

Bestimmen Sie, welchen prozentualen Anteil der Inhalt dieser Teilfläche am Inhalt der Fläche $A$ hat.

%