Aufgabe MMS 2 - 2 - Beurteilende Statistik: Tests und Int… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Stochastik (CAS) 2023

Ein großes Reiseunternehmen führt auf seinen Internetseiten ein kostenloses Gewinnspiel durch. Jede Person kann nur einmal an dem Spiel teilnehmen. Als Ergebnis des Spiels wird eine bestimmte Anzahl von Strandkörben angezeigt; diese Anzahl beträgt mindestens 1 und höchstens 5. Im Folgenden sind dazu die möglichen Gewinne beschrieben:

Unter den teilnehmenden Personen, bei denen nur ein Strandkorb angezeigt wird, werden Sachgewinne verlost.

Die teilnehmenden Personen mit zwei, drei, vier oder fünf Strandkörben erhalten jeweils einen Reisegutschein. Der folgenden Tabelle können die Werte der Gutscheine sowie die Wahrscheinlichkeiten für diese Gewinne entnommen werden.

Anzahl der Strandkörbe · 2 · 3 · 4 · 5

Wert des Gutscheins in € · 200 · 500 · 1000 · 10 000

Wahrscheinlichkeit · $8 \cdot 10^{-4}$ · $5 \cdot 10^{-5}$ · $2 \cdot 10^{-5}$ · $3 \cdot 10^{-6}$

Bei dem Spiel beträgt der Erwartungswert des Gewinns pro Person 43,5 Cent.

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Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person nach der Teilnahme am Gewinnspiel eine Reise bei dem Reiseunternehmen bucht, wird mit $p$ bezeichnet. Für das Unternehmen wäre eine Verlängerung des Gewinnspiels für $p \ge 2\,\%$ mit Vorteilen verbunden, für $p < 2\,\%$ dagegen mit finanziellen Verlusten. Die Nullhypothese „$p$ beträgt mindestens $2\,\%$“ soll auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden. Je größer der Umfang der Stichprobe gewählt wird, desto teurer ist die Durchführung des Tests. Das Gewinnspiel soll nur dann nicht verlängert werden, wenn die Nullhypothese aufgrund des Testergebnisses abgelehnt werden müsste.

Die Abbildung stellt für zwei mögliche Stichprobenumfänge $n_1$ und $n_2$ mit $n_1 < n_2$ in Abhängigkeit von $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür dar, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich liegt.

Geben Sie an, unter welcher Bedingung sich der größere Stichprobenumfang für das Unternehmen lohnen könnte, und begründen Sie Ihre Angabe unter Verwendung der Abbildung sowie des Fehlers zweiter Art. [5 BE]