Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 wird dieser Körper von oben gezeigt. Für den Körper aus den Abbildungen 2 und 3, auf den sich die nachfolgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $A_3$ an. [1 Punkt]

$A_3($

$|$

$|$

$)$

a) (2)

Berechnen Sie den Rauminhalt des Pyramidenstumpfes. [2 Punkte]

a) (3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Fläche $S$, in der die zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallele Ebene in der Höhe 5 den Pyramidenstumpf schneidet. [2 Punkte]

Teilaufgabe b (2)

b) (2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kante $\overline{A_1B_1}$ mit der Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ des Körpers einschließt. [2 Punkte]

Teilaufgabe c (2)

Für die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ liegt die folgende Rechnung vor, die nur teilweise ausgeführt ist:

(I) $\quad \vec{OP} = \begin{pmatrix}-4 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}6 \\ 2 \\ 10\end{pmatrix}, \quad \vec{OQ} = \begin{pmatrix}4 \\ -4 \\ 0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 6 \\ 10\end{pmatrix}, \quad r,s \in \mathbb{R}$.

(II) $\quad \vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = \dots$

(III) $\quad \begin{vmatrix} \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix}6 \\ 2 \\ 10\end{pmatrix} = 0 \\ \vec{PQ} \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ 6 \\ 10\end{pmatrix} = 0 \end{vmatrix} \Leftrightarrow \begin{vmatrix} r = \dots \\ s = \dots \end{vmatrix}$.

(IV) $\quad$ Einsetzen von $r = \dots$ und $s = \dots$ in $\vec{PQ}$ liefert den Vektor $\frac{1}{3} \begin{pmatrix}4 \\ 8 \\ -4\end{pmatrix}$.

(V) $\quad \left|\frac{1}{3} \begin{pmatrix}4 \\ 8 \\ -4\end{pmatrix}\right| = \frac{4 \cdot \sqrt{6}}{3} \approx 3{,}27$.

c) (2) (i)

Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III). [3 Punkte]

c) (2) (ii)

Interpretieren Sie den Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch. [1 Punkt]

Teilaufgabe d

$H_1$ ist der Punkt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ in der Höhe $h$, $0 < h \le 10$.

d) (1)

Weisen Sie nach: $H_1\left(4 - \frac{6}{10}\cdot h \;\Big|\; 4 - \frac{2}{10}\cdot h \;\Big|\; h\right)$. Stellen Sie hierzu eine Gleichung der Geraden $A_1B_1$ mit dem Parameter $t$ auf und geben Sie den Wert von $t$ abhängig von $h$ an. [2 Punkte]

$t =$

$H_2\left(-4+\frac{2}{10}\cdot h \;\Big|\; 4-\frac{6}{10}\cdot h \;\Big|\; h\right)$, $H_3$ und $H_4$ sind die Punkte auf den Kanten $\overline{A_2B_2}$, $\overline{A_3B_3}$ und $\overline{A_4B_4}$ in der Höhe $h$, $0 < h \le 10$.

Die Punkte $H_1H_2H_3H_4$ bilden in jeder Höhe $h$, $0 < h \le 10$, ein Quadrat.

d) (2)

Zeigen Sie: Der Flächeninhalt $F(h)$ des Quadrates $H_1H_2H_3H_4$ in der Höhe $h$ beträgt $F(h) = \frac{4}{5}\cdot h^2 - \frac{64}{5}\cdot h + 64$. Berechnen Sie hierfür den Verbindungsvektor $\vec{H_1H_2}$. [2 Punkte]

$\vec{H_1H_2} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = ($$

$\\$

$\\$

$)$

d) (3)

Ermitteln Sie diejenige Höhe $h$, für die das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ den kleinsten Flächeninhalt hat. [2 Punkte]

d) (4)

In einer bestimmten Höhe $h$ gilt $\alpha = 45^\circ$. Ermitteln Sie diese Höhe $h$. [2 Punkte]