Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist ein Pyramidenstumpf zu sehen. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe $10$ liegt. Die $x_3$-Achse geht zudem durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt $4$.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

In Abbildung 2 ist ein Körper abgebildet, der entsteht, wenn die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse gedreht wird, während die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ unverändert bleibt. Abbildung 3 zeigt diesen Körper in der Draufsicht. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$,

$B_1(-2|2|10)$, $B_2(-2|-2|10)$, $B_3(2|-2|10)$, $B_4(2|2|10)$.

Teilaufgabe a)

(1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $A_3$ besitzt.

(2)

Berechnen Sie den Rauminhalt des Pyramidenstumpfes.

(3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_S$ der quadratischen Fläche $S$, in der der Pyramidenstumpf von der zur $x_1\text{-}x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe 5 geschnitten wird.

Teilaufgabe b)

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kante $\overline{A_1B_1}$ mit der Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ des Körpers einschließt.

Teilaufgabe c)

(2) (i)

Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III).

(2) (ii)

Interpretieren Sie, was der Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch bedeutet.

Teilaufgabe d)

(2)

Zeigen Sie, dass für den Flächeninhalt $F(h)$ des Quadrates $H_1H_2H_3H_4$ in der Höhe $h$ gilt: $F(h)=\frac{4}{5}\cdot h^2-\frac{64}{5}\cdot h+64$.

(3)

Ermitteln Sie diejenige Höhe $h$, für die das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$ den kleinsten Flächeninhalt hat.

(4)

Für eine bestimmte Höhe $h$ gilt $\alpha = 45^\circ$. Ermitteln Sie diese Höhe $h$.