Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Differentialrechnung: Tangent… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto e^x \cdot (x - a)^2$ mit $a \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet. Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt. Die Abbildung 1 zeigt $G_{\frac{3}{2}}$.

Betrachtet werden die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_{a,b}: x \mapsto e^x \cdot \left((x - a + b)^2 - b\right)$ mit $a, b \in \mathbb{R}$. Es gilt $f_{a,0}(x) = f_a(x)$. Der Graph von $f_{a,b}$ wird mit $G_{a,b}$ bezeichnet.

a)

$\mathrm{G}_{\frac{3}{2}}$ nimmt in einem seiner Wendepunkte seine kleinste Steigung an. Bestimmen Sie diese Steigung rechnerisch.

b)

$\mathrm{G}_a$ hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt. Geben Sie die Koordinaten dieser Punkte an und begründen Sie, dass der gemeinsame Punkt mit der x-Achse der Tiefpunkt von $\mathrm{G}_a$ ist.

d)

Für jeden Wert von a mit $a \ne 0$ schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte von $\mathrm{G}_a$ mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechnen Sie denjenigen Wert von a, für den dieses Dreieck gleichschenklig ist.

g)

Für jeden Wert von a gilt $f_{a,0}(a) = 0 \wedge f_{a,1}(a) = 0 \wedge f_{a,2}(a) \ne 0$. Geben Sie die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Funktionen $f_{a,-1}$ an.