Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ sei durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x) = (x+0{,}5) \cdot (x-0{,}5) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Für eine Funktionenschar $g_a$ gilt die Gleichung

$$g_a(x) = (x+a) \cdot (x-a) \cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R}, \quad a > 0.$$

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $g_1$.

Die Funktion $h$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

a)

(4)

(i)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$, die vom Graphen der Funktion $f$ und der Tangente $t: y = -e^{-1{,}5} \cdot x + 0{,}5 \cdot e^{-1{,}5}$ begrenzt wird.

(ii)

Die Fläche $A$ reicht teilweise unter die $x$-Achse.

Bestimmen Sie, welchen prozentualen Anteil der Inhalt dieser Teilfläche am Inhalt der Fläche $A$ hat.

b)

(2)

Der Graph von $g_a$ und die $x$-Achse begrenzen eine Fläche, welche die $y$-Achse in zwei Teilflächen teilt.

Untersuchen Sie, ob ein Parameter $a > 0$ existiert, für den die Teilfläche rechts der $y$-Achse doppelt so groß ist wie die Teilfläche links der $y$-Achse.