Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2023

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x^3 - 5) \cdot \mathrm{e}^x, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Betrachtet wird die Schar der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit der Funktionsgleichung

$$f_k(x) = (x^3 + k) \cdot \mathrm{e}^x \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Die Funktion $f_{-5}$ ist identisch mit der Funktion $f$.

c) Betrachtet wird die Funktionenschar $f_k$ mit Definitionsbereich $\mathbb{R}$ und der Gleichung

$$f_k(x) = (x^3 + k) \cdot \mathrm{e}^x \quad \text{mit } k \in \mathbb{R}.$$

Die Funktion $f_{-5}$ ist identisch mit der Funktion $f$.

In Abbildung 4 sind drei Graphen $G_I, G_{II}, G_{III}$ der Schar dargestellt, die zu drei verschiedenen Parametern $k_I, k_{II}, k_{III}$ gehören.

(1)

Geben Sie an, welche Parameter zu den Graphen gehören.

(2)

Begründen Sie, dass jede Funktion $f_k$ dieser Schar genau eine Nullstelle besitzt.