Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Funktionen $p$, $q$ und $h$

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, den die Graphen von $p$ und $q$ gemeinsam haben, und er befindet sich auf der $y$-Achse. Die erste Ableitung von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Außerdem sei die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ gegeben.

Modellierung des Bewässerungskanals (Funktion $w$)

Ein Bewässerungskanal nimmt seinen Betrieb auf, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beginn der Beobachtung und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

a) (2)

Zeigen Sie, dass sich die Graphen von $p$ und $q$ in ihrem gemeinsamen Punkt eine Tangente teilen, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an.

b) (2) (i)

Zeigen Sie: $h'(x) = (-x^2 + 3x) \cdot e^{-x}$.

b) (2) (ii)

Berechnen Sie die Koordinaten beider Extrempunkte des Graphen von $h$ und den Abstand zwischen diesen Punkten.

b) (3)

Die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ sowie die Punkte $P$ und $Q$ bilden ein Rechteck $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Ermitteln Sie, welcher Anteil der Rechtecksfläche auf das schraffierte Teilstück entfällt.

c) (2)

Die momentane Änderungsrate der Funktion $w$ stimmt an zwei Stellen mit der mittleren Änderungsrate der Funktion $w$ über dem Intervall $[0; 10]$ überein. Ermitteln Sie eine dieser Stellen.

c) (3)

Bestimmen Sie den Zeitpunkt innerhalb der ersten zehn Sekunden ab Beobachtungsbeginn, an dem die momentane Durchflussrate am schnellsten sinkt.