Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2023

Aus den Rohstoffen $R_1$, $R_2$, $R_3$ und $R_4$ werden die Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ hergestellt und daraus die Milchmischgetränke $M_1$ und $M_2$. Die Abbildung veranschaulicht den Herstellungsprozess, wobei für jeweils eine Mengeneinheit (ME) eines Zwischenprodukts oder Getränks der Bedarf an jedem benötigten Rohstoff bzw. Zwischenprodukt in Mengeneinheiten angegeben ist.

Entsprechend gibt die Matrix $$K = \begin{pmatrix} 0{,}51 & 0{,}53 \\ 0{,}22 & x \\ 0{,}16 & y \\ 0{,}11 & 0{,}21 \end{pmatrix}$$ mit $x, y \in \mathbb{R}$ zu jedem Getränk die erforderlichen Mengeneinheiten der Rohstoffe an.

a)

Bestätigen Sie rechnerisch, dass $x = 0{,}26$ gilt. Begründen Sie, dass $y$ den Wert null hat.

b)

Der Tabelle können für jeden Rohstoff die Kosten pro Mengeneinheit in Geldeinheiten (GE) entnommen werden:

Rohstoff · $R_1$ · $R_2$ · $R_3$ · $R_4$

Kosten · $0{,}1$ GE · $0{,}1$ GE · $0{,}5$ GE · $0{,}3$ GE

Es sollen dreimal so viele Mengeneinheiten von $M_1$ wie von $M_2$ hergestellt werden. Dabei sollen die Gesamtkosten für die Rohstoffe höchstens $3500$ GE betragen. Ermitteln Sie, wie viele Mengeneinheiten von $M_1$ und $M_2$ höchstens hergestellt werden können.

c)

Der Prozess zur Herstellung der beiden Getränke wird verändert. Die Matrix $L$, die zu jedem Zwischenprodukt die erforderlichen Mengeneinheiten der Rohstoffe angibt, hat vier Zeilen und vier Spalten. Geben Sie an, wie viele Zeilen und Spalten die Matrix $N$ hat, die zu jedem Getränk die erforderlichen Mengeneinheiten der Zwischenprodukte angibt, und begründen Sie Ihre Angabe.