Abitur NRW Mathematik 2023 · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungskolleg

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-2\cdot x^2,\ x \in \mathbb{R}$.

(1)

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion.

(2)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x)=\frac{1}{6}\cdot x^3-2\cdot x^2+\frac{28}{3},\ x \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Graph der Funktion $f$ an der Stelle $x = 0$ einen lokalen Hochpunkt aufweist.

(2)

Begründen Sie, dass die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 0$ den Punkt $P\left(\frac{4}{3}\middle|\frac{28}{3}\right)$ enthält.

(3)

Der Punkt $Q(4|-12)$ ist ein Punkt des Graphen von $f$. Zeigen Sie, dass die Gerade durch $P$ und $Q$ den Graphen von $f$ im Punkt $Q$ tangiert.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $$f(x)=(2x-1)\cdot\mathrm{e}^{2x},\quad x\in\mathbb{R}.$$ In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen.

Zusätzlich sei die Funktion $F$ mit $$F(x)=(x-1)\cdot\mathrm{e}^{2x},\quad x\in\mathbb{R}$$ definiert.

(1)

Weisen Sie nach, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ darstellt.

(2)

Die $x$-Achse wird vom Graphen der Funktion $f$ ausschließlich an der Stelle $x=\frac{1}{2}$ geschnitten.

Berechnen Sie den Inhalt der in Abbildung 1 schraffierten Fläche.

Gegeben sind die Vektoren $$\vec{u}=\begin{pmatrix}4\\p\\q\end{pmatrix}\quad\text{und}\quad\vec{v}=\begin{pmatrix}-2\\2\\1\end{pmatrix}\quad\text{mit } p,q\in\mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie diejenigen Werte von $p$ und $q$ an, bei denen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ kollinear zueinander sind. [1 Punkt]

(2)

Für passende Werte von $p$ und $q$ spannen die Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ein Rechteck auf. Geben Sie dafür ein Beispiel an. [2 Punkte]

(3)

Prüfen Sie, ob sich Werte für $p$ und $q$ finden lassen, für die der Vektor $\vec{u}$ die Länge 9 [LE] besitzt. [2 Punkte]

e) Gegeben ist die Ebene $E: \vec{x} = \vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w}$, $r, s \in \mathbb{R}$.

In Abbildung 2 ist ein Ausschnitt der Ebene $E$ dargestellt.

(1) (i)

Der in Abbildung 2 markierte Punkt $A$ liegt in der Ebene $E$. Man erhält ihn, indem man ganzzahlige Werte für die Parameter $r$ und $s$ in die Parametergleichung von $E$ einsetzt.

Geben Sie anhand von Abbildung 2 diejenigen Werte von $r$ und $s$ an, für die $\vec{u} + r \cdot \vec{v} + s \cdot \vec{w} = \vec{OA}$ erfüllt ist.

$r =$

$s =$

(1) (ii)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Bereich ein, den man erhält, wenn man alle Parameterwerte mit $0 \le r \le 2$ und $-1 \le s \le 1$ für $r$ und $s$ in die Parametergleichung von $E$ einsetzt.

(2)

Es gilt: $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $r, s \in \mathbb{R}$.

Untersuchen Sie, ob sich der Punkt $P(5|0|2)$ in der Ebene $E$ befindet.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot e^x,\ x \in \mathbb{R}$$

Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x) = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot e^x,\ x \in \mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g$.

Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung

$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot e^{x - 0{,}5},\ x \in \mathbb{R}$$

Teilaufgabe a)

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser beiden Punkte.

a) (2)

Untersuchen Sie $f$ rechnerisch auf Wendestellen; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht verwendet werden.

a) (3)

Zeigen Sie rechnerisch, dass $t: y = -e^{-1{,}5} \cdot x + 0{,}5 \cdot e^{-1{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1{,}5 \mid f(-1{,}5))$ ist.

Teilaufgabe b)

Für $-1 < z < 1$ spannen die Punkte $P(-1\mid 0)$, $Q_z(z\mid g(z))$ und $R_z(z\mid 0)$ das Dreieck $PQ_zR_z$ auf.

b) (1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $PQ_zR_z$ für $z = 0{,}75$ ein.

b) (2)

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B$ des Dreiecks $PQ_zR_z$ abhängig von $z$ durch die Gleichung

$$B(z) = -0{,}5 \cdot (z+1)^2 \cdot (z-1) \cdot e^z$$

berechnen kann.

b) (3)

Ermitteln Sie sämtliche Werte von $z$, bei denen das Dreieck $PQ_zR_z$ einen Flächeninhalt von $0{,}5$ Flächeneinheiten hat.

b) (4)

Bestimmen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_zR_z$.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot e^x,\ x \in \mathbb{R}$$

Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x) = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot e^x,\ x \in \mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g$.

Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung

$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot e^{x - 0{,}5},\ x \in \mathbb{R}$$

a) (4) (i)

Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche $A$, die vom Graphen der Funktion $f$ und der Tangente $t$ begrenzt wird.

FE

(ii)

Die Fläche $A$ reicht teilweise unter die $x$-Achse.

Bestimmen Sie, wie viel Prozent des Flächeninhalts von $A$ auf diese Teilfläche entfallen.

%

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Gegeben ist die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(x) = (x + 0{,}5) \cdot (x - 0{,}5) \cdot e^x,\ x \in \mathbb{R}$$

Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x) = (x + 1) \cdot (x - 1) \cdot e^x,\ x \in \mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g$.

Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung

$$h(x) = (x - 1) \cdot x \cdot e^{x - 0{,}5},\ x \in \mathbb{R}$$

Gegeben ist die Funktion $h$ mit der Gleichung

$$h(x) = (x-1) \cdot x \cdot e^{x-0{,}5}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

c) (1)

Durch eine Transformation des Graphen der Funktion $f$ lässt sich der Graph der Funktion $h$ erhalten.

Geben Sie die Art dieser Transformation an.

(2)

Die Graphen von $g$ und $h$ haben den Schnittpunkt $S(1 \mid 0)$ sowie einen weiteren Schnittpunkt $T$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $T$.

$T($

$\mid$

$)$

(3)

Der Graph von $f$ soll so transformiert werden, dass er den Graphen von $g$ ebenfalls in $S(1 \mid 0)$ schneidet, dabei aber vom Graphen von $h$ verschieden ist.

Beschreiben Sie eine passende Transformation und geben Sie die zugehörige Funktionsgleichung an.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$ und der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben; dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Gewöhnlich liegt eine Person so auf der Liege, dass im Längsschnitt die Kniekehlen etwa in dem Punkt liegen, den im Modell der lokale Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ darstellt. Das Gesäß liegt dann etwa in dem Punkt, der im Modell dem lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ entspricht (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung). Zudem soll die Steigung zwischen diesen beiden Punkten stets zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegen (zweite Bedingung).

a)

(1) Geben Sie $g'(x)$ an und berechnen Sie die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von $g$, wobei Sie keine aus Funktionsgraphen abgelesenen Werte oder Zusammenhänge benutzen dürfen.

[Zur Kontrolle: Die Extremstellen liegen bei $x = 1$ und $x = 2$.]

(2) Berechnen Sie, wie weit Hoch- und Tiefpunkt im Modell voneinander entfernt sind.

(3) Ermitteln Sie, welche Steigung der Graph von $g$ an seiner Wendestelle hat.

(4) Personen mit $172\text{ cm}$ Körpergröße haben im Durchschnitt eine Oberschenkellänge von $40\text{ cm}$. Beurteilen Sie, ob die Liege für eine solche Person beide Bedingungen einer bequemen Liege erfüllt.

c)

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \geq 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

(1) Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg eine Gleichung für die Tangente $t$.

[Zur Kontrolle: $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.]

d)

Am Seitenteil wird eine Leiste $v$ befestigt, die parallel zur $y$-Achse verläuft (siehe Abbildung 3). Sie soll an der Stelle $x_v$ mit $0{,}34 < x_v < 2{,}40$ sitzen, an der der vertikale Abstand (Abstand in $y$-Richtung) zwischen oberem und unterem Rand des Seitenteils am größten ist.

Ermitteln Sie den größten vertikalen Abstand zwischen dem oberen und dem unteren Rand des Seitenteils.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$ und der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben; dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

b)

Der untere Rand des Seitenteils wird in einem passenden Intervall durch den Graphen der Funktion $h$ dargestellt. Dafür gilt:

$h$ ist eine ganzrationale Funktion vierten Grades, deren Graph symmetrisch zur $y$-Achse verläuft. Der Graph von $h$ schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0 \mid 0{,}375)$. Der Punkt $\left(\frac{\sqrt{10}}{2} \,\middle|\, 0\right)$ ist ein lokaler Tiefpunkt des Graphen von $h$.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion $h$.

[Zur Kontrolle: $h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}3x^2 + 0{,}375$]

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$ und der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben; dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \ge 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

Die Tangente hat die Gleichung $t: y = 1{,}12x - 1{,}852$.

c) (2)

Ermitteln Sie den Inhalt der schraffierten Fläche (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dazu nötigen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Die schraffierte Fläche hat einen Inhalt von etwa 1,25 FE.]

c) (3)

Berechnen Sie die Masse eines Seitenteils der Liege in ihrer optimierten Form.

Aufgabenstellung:

In Abbildung 1 ist eine Holzliege zu sehen, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Volumen von $1\text{ cm}^3$ dieses Holzes besitzt eine Masse von $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 stellt den Längsschnitt eines Seitenteils dieser Liege als Modell dar. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$ und der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ beschrieben.

Der obere Rand wird in einem geeigneten Intervall durch den Graphen der Funktion $g$ beschrieben; dabei gilt:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

e)

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $f$ mit

$$f(x) = g(k \cdot x) = \frac{2}{3}(k \cdot x)^3 - 3(k \cdot x)^2 + 4(k \cdot x) - 0{,}7, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Die Liegefläche einer Kinderliege soll durch die Funktion $f$ mit einem passend gewählten Wert von $k$ modelliert werden.

Begründen Sie, warum Werte von $k < 1$ dafür nicht geeignet sind. (3 Punkte)

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem wurde so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 wird dieser Körper von oben gezeigt. Für diesen in den Abbildungen 2 und 3 dargestellten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0),\ A_2(-4|4|0),\ A_4(4|-4|0),$

$B_1(-2|2|10),\ B_2(-2|-2|10),\ B_3(2|-2|10),\ B_4(2|2|10).$

Teilaufgabe a

(1)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $A_3$ an.

(2)

Berechnen Sie das Volumen des gegebenen Pyramidenstumpfes.

[VE]

(3)

Berechnen Sie den Flächeninhalt $F_s$ der quadratischen Fläche $S$, in der der Pyramidenstumpf von der zur $x_1\text{-}x_2$-Ebene parallelen Ebene in der Höhe $5$ geschnitten wird.

[Zur Kontrolle: $F_s = 36\text{ FE}$]

Teilaufgabe b

(2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{A_1B_1}$ und $\overline{A_1A_2}$ einschließen.

°

(3)

$H_1(1|3|5)$ ist der Punkt auf der Kante $\overline{A_1B_1}$ in der Höhe $5$. $H_2(-3|1|5)$, $H_3$ und $H_4$ sind die Punkte auf den Kanten $\overline{A_2B_2}$, $\overline{A_3B_3}$ und $\overline{A_4B_4}$ in der Höhe $5$. Diese Punkte bilden ein Quadrat $H_1H_2H_3H_4$. Der Flächeninhalt dieses Quadrats hat sich im Vergleich zu $F_s$ verkleinert.

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg, um wie viel Prozent der Flächeninhalt kleiner geworden ist.

%

Teilaufgabe c

(2)

Die in der Aufgabenstellung dargestellte Rechnung wird für die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ ausgeführt.

(i) Bestimmen Sie $r$ und $s$ mithilfe von (I), (II) und (III).

(ii) Interpretieren Sie, was der Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch bedeutet.

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem wurde so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe 10 befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte beider Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt 4.

Es gilt $A_1(4|4|0)$, $A_2(-4|4|0)$, $A_4(4|-4|0)$ und $D(2|2|10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn man die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse dreht und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert lässt. In Abbildung 3 wird dieser Körper von oben gezeigt. Für diesen in den Abbildungen 2 und 3 dargestellten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4|4|0),\ A_2(-4|4|0),\ A_4(4|-4|0),$

$B_1(-2|2|10),\ B_2(-2|-2|10),\ B_3(2|-2|10),\ B_4(2|2|10).$

b) (1) Die Punkte $A_1$, $A_2$ und $B_1$ liegen in der Ebene $E$.

(i)

Stellen Sie eine Parametergleichung der Ebene $E$ auf.

(ii)

Untersuchen Sie durch Rechnung, ob $B_2$ ein Punkt der Ebene $E$ ist.

Ja

Nein

c) Die Kante $\overline{A_3B_3}$ verläuft auf der Geraden $A_3B_3: \vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix}$, $r \in \mathbb{R}$, die Kante $\overline{A_4B_4}$ auf der Geraden $A_4B_4: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}$, $s \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass $A_3B_3$ und $A_4B_4$ zueinander windschief sind.

Mit Systemen zur Gesichtserkennung lassen sich Personen auf Fotos, in Videoaufnahmen oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Zur Überprüfung einer Gesichtserkennungssoftware werden Aufnahmen von Freiwilligen verwendet. Von einem Teil dieser Freiwilligen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

In einer Testphase vergleicht die Software Videoaufnahmen einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

a) Während dieser Testphase erkennt die Software eine Zielperson in einem Video mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % korrekt als Zielperson. Diese Wahrscheinlichkeit heißt im Weiteren Trefferwahrscheinlichkeit.

Eine Kontrollperson wird mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,1 % irrtümlich als Zielperson klassifiziert.

Unter den in der Testphase eingesetzten Videos zeigen 10 % Zielpersonen.

(1)

Erstellen Sie für die geschilderte Situation ein zweistufiges Baumdiagramm mit Beschriftung.

(2) (i)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Software die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson einstuft.

(2) (ii)

Die Software stuft die Person in einem zufällig gewählten Video als Zielperson ein.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich bei dieser Person in Wirklichkeit um eine Kontrollperson handelt.

Mit Systemen zur Gesichtserkennung lassen sich Personen auf Fotos, in Videoaufnahmen oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Zur Überprüfung einer Gesichtserkennungssoftware werden Aufnahmen von Freiwilligen verwendet. Von einem Teil dieser Freiwilligen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

In einer Testphase vergleicht die Software Videoaufnahmen einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

b) Für eine Werbebroschüre will die Softwarefirma Angaben zur Güte ihrer Gesichtserkennungssoftware sammeln. Hierfür sind Wahrscheinlichkeiten bestimmter Ereignisse erforderlich. Unter anderem wird angenommen, dass wie in der Testphase die Trefferwahrscheinlichkeit $80\,\%$ beträgt.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis:

Unter 50 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen stuft die Software in mehr als 40 Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson ein.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die Anzahl der Videos mit korrekter Einstufung der gezeigten Person als Zielperson höchstens um 1,5 Standardabweichungen vom Erwartungswert abweicht.

(3)

Bestimmen Sie die kleinste Anzahl zufällig gewählter Videos von Zielpersonen, die die Software mit der Datenbank abgleichen muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens zehn dieser Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkannt wird.

d)

Ermitteln Sie die minimale Trefferwahrscheinlichkeit – in Prozent ohne Nachkommastelle –, die eine Gesichtserkennungssoftware haben muss, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ in mindestens 90 von 100 zufällig gewählten Videos von Zielpersonen die gezeigte Person korrekt als Zielperson erkennt.

%

Mit Systemen zur Gesichtserkennung lassen sich Personen auf Fotos, in Videoaufnahmen oder live identifizieren. Das System gleicht dazu bestimmte Gesichtsmerkmale mit bereits vorliegenden Fotos ab. Ist die Ähnlichkeit ausreichend hoch, bewertet das System zwei Gesichter als dieselbe Person.

Zur Überprüfung einer Gesichtserkennungssoftware werden Aufnahmen von Freiwilligen verwendet. Von einem Teil dieser Freiwilligen liegen Fotos in einer Datenbank vor; sie heißen im Folgenden Zielpersonen. Freiwillige, deren Fotos nicht in der Datenbank abgelegt sind, bezeichnet man als Kontrollpersonen.

In einer Testphase vergleicht die Software Videoaufnahmen einzelner Personen (Zielpersonen ebenso wie Kontrollpersonen) mit den in der Datenbank gespeicherten Fotos.

c)

Auch ein weiterer Hersteller vertreibt eine Gesichtserkennungssoftware. Nach dessen Angabe liegt die Trefferwahrscheinlichkeit dieser Software bei 90 %.

Eine Sicherheitsingenieurin möchte die Angabe des Herstellers untersuchen. Dazu lässt sie die Software 100 zufällig ausgewählte Videos von Zielpersonen überprüfen. Stuft die Software in mindestens 95 Videos die gezeigte Person korrekt als Zielperson ein, geht die Sicherheitsingenieurin davon aus, dass die Herstellerangabe zutrifft.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Ingenieurin die Herstellerangabe als zutreffend ansieht, obwohl die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit der Software lediglich 86 % beträgt. (2 Punkte)

Aufgabenstellung

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine Krümmung bilden (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen ist diese Krümmung sichtbar. Anhand dieser Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Für $0 \le x \le 5$ beschreibt die Funktion $f$ modellhaft den Verlauf eines Wirbelsäulenabschnitts bei einem Patienten mit Skoliose:

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x + 1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sind der Graph von $f$ und das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zu sehen.

a)

(1) Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die Koordinaten der beiden Extrempunkte des Graphen von $f$ und geben Sie jeweils deren Art an; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht verwendet werden.

Deuten Sie die $y$-Koordinate des Hochpunkts bezogen auf den Sachzusammenhang.

(2) (i) Ermitteln Sie die Koordinaten der Wendepunkte des Graphen von $f$, gerundet auf vier Nachkommastellen.

(ii) Berechnen Sie eine Gleichung der Tangente $t_1$, die den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_1(0{,}49 \mid f(0{,}49))$ berührt.

[Zur Kontrolle: $t_1: y = 0{,}64x - 0{,}09$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).]

Die Tangente $t_2$ an den Graphen von $f$ im Wendepunkt $W_2(2{,}85 \mid 0{,}44)$ hat die Gleichung $t_2: y = -0{,}22x + 1{,}07$ (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet).

Um über weitere Behandlungsschritte zu entscheiden, wird der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Wendetangenten $t_1$ und $t_2$ bestimmt, der sogenannte Cobb-Winkel (siehe Abbildung 3).

Laut einer Studie wird in der Regel eine Operation empfohlen, wenn der Cobb-Winkel größer ist als $50^\circ$, andernfalls sollte ein Korsett getragen werden.

(3) Der Cobb-Winkel $\alpha$ kann mit der Formel$$\alpha = \sphericalangle(t_1, t_2) = \tan^{-1}\left(\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2}\right)$$aus den Steigungen $m_1$ bzw. $m_2$ der Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ berechnet werden.

Berechnen Sie den Cobb-Winkel und beurteilen Sie, ob bei dieser Skoliose laut Empfehlung operiert werden sollte.

c)

Ein Arzt überlegt, nicht den Cobb-Winkel zwischen den Tangenten in den Wendepunkten zu verwenden, sondern stattdessen den Winkel zwischen den Tangenten an den äußeren Kanten der Wirbel, auf denen die Wendepunkte liegen.

Das bedeutet: Statt der Tangente im Punkt $W_1$ wird die Tangente im Punkt $P_1$ verwendet, der weiter links auf dem Graphen von $f$ liegt. Ebenso wird statt der Tangente im Punkt $W_2$ die Tangente im Punkt $P_2$ verwendet, der weiter rechts auf dem Graphen von $f$ liegt (siehe Abbildung 5).

Beurteilen Sie ohne weitere Rechnung, ob sich durch diese Veränderung ein größerer oder ein kleinerer Wert für den Winkel ergibt.

Aufgabenstellung

Skoliose ist eine Erkrankung der Wirbelsäule, bei der diese nicht gerade verläuft, sondern bei der mehrere Wirbel eine Krümmung bilden (siehe Abbildung 1). Auf Röntgenaufnahmen ist diese Krümmung sichtbar. Anhand dieser Aufnahmen wird über die weitere Behandlung entschieden.

Für $0 \le x \le 5$ beschreibt die Funktion $f$ modellhaft den Verlauf eines Wirbelsäulenabschnitts bei einem Patienten mit Skoliose:

$$f(x) = 0{,}5 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-1{,}2x + 1{,}2}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Eine Einheit im Koordinatensystem steht für einen Dezimeter (dm).

Der gerade Verlauf der Wirbelsäule einer gesunden Person ohne Skoliose wird durch die $x$-Achse dargestellt.

In Abbildung 2 sind der Graph von $f$ und das um $90^\circ$ gedrehte Röntgenbild der Wirbelsäule zu sehen.

b) Für einen Großteil des Bereichs, in dem die Wirbelsäule seitlich verschoben ist, kommt bei der Herstellung eines Korsetts ein spezielles Material zum Einsatz. Die Fläche mit diesem speziellen Material ist in Abbildung 4 schraffiert eingezeichnet.

(1)

Berechnen Sie, in welchen Punkten die Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ die $x$-Achse schneiden.

$S_1($

$|\ 0)$

$S_2($

$|\ 0)$

(2)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der mit dem speziellen Material ausgestattet wird.