Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2023

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt eine Holzliege dar, deren geschwungene Liegefläche auf zwei Seitenteilen ruht. Für die Seitenteile wird Holz der Dicke $4\text{ cm}$ verwendet. Ein Kubikzentimeter ($1\text{ cm}^3$) dieses Holzes wiegt $0{,}75\text{ g}$.

Abbildung 2 zeigt ein Modell des Längsschnitts eines Seitenteils dieser Liege. Dabei wird der obere Rand vom Graphen einer Funktion $g$ und der untere Rand vom Graphen einer Funktion $h$ modelliert.

Die Funktionen $g$ und $h$, deren Graphen den oberen und unteren Rand in einem passenden Intervall beschreiben, sind gegeben durch:

$$g(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 4x - \frac{7}{10}, \quad x \in \mathbb{R} \quad \text{und} \quad h(x) = 0{,}06x^4 - 0{,}30x^2 + 0{,}38, \quad x \in \mathbb{R}.$$ In der Realität steht eine Längeneinheit des Modells für $40\text{ cm}$.

Normalerweise liegt man so auf der Liege, dass sich im Längsschnitt die Kniekehlen etwa in dem Punkt befinden, der im Modell dem lokalen Hochpunkt $H$ des Graphen von $g$ entspricht. Das Gesäß liegt dann etwa im Punkt, der im Modell durch den lokalen Tiefpunkt $T$ des Graphen von $g$ gegeben ist (siehe Abbildung 2). Eine Liege ist bequem, wenn die Oberschenkellänge ungefähr dem Abstand dieser beiden Punkte entspricht (erste Bedingung) und zudem die Steigung zwischen diesen Punkten stets zwischen $-0{,}7$ und $0{,}7$ liegt (zweite Bedingung).

Bei der Optimierung der Liegenform zeigte sich, dass eine gerade Liegefläche im Kopfbereich vorteilhafter ist. Daher ersetzt man für $x \ge 2{,}4$ den Graphen von $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ (siehe Abbildung 3).

Die Hersteller möchten zukünftig auch Liegen anbieten, die individuell an die jeweilige Körpergröße angepasst sind. Sie benutzen zur Modellierung des oberen Randes des Seitenteils für geeignete $k > 0$ Funktionen $g_k$ mit

$$g_k(x) = \frac{2}{3}k^2x^3 - 3kx^2 + 4x - \frac{7}{10k}, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Bei dem Versuch, die Form der Liege zu optimieren, wurde festgestellt, dass es besser ist, die Form der Liegefläche im Kopfbereich gerade zu gestalten. Deshalb wird nun für $x \geq 2{,}4$ der Graph der Funktion $g$ durch die Tangente $t$ an den Graphen von $g$ im Punkt $P(2{,}4 \mid g(2{,}4))$ ersetzt (siehe Abbildung 3).

b)

(2)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des schraffierten Bereichs (siehe Abbildung 3) und geben Sie dabei die dafür erforderlichen Integrale an.

[Zur Kontrolle: Die schraffierte Fläche hat einen Inhalt von etwa $1{,}25\text{ FE}$.]

(3)

Berechnen Sie die Masse eines einzelnen Seitenteils der optimierten Liege.