Aufgabe A2 - Teilaufgabe f · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2023

Thema: Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · GTR (2023)

Aufgabenstellung

Gegeben ist die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=e^{\left(x^2\right)}$ .

Teilaufgabe f

(1) Die Zufallsgröße $X$ folgt einer Binomialverteilung mit $n = 10$ .

Abbildung 3 zeigt das Histogramm dieser Verteilung, das nicht vollständig ist.

Bekannt ist: $P(X \ge 4) \approx 0{,}35$ .

(i)

(ii)

(2) Die Histogramme I bis III in den Abbildungen 4-1 bis 4-3 zeigen Ausschnitte aus Wahrscheinlichkeitsverteilungen von drei binomialverteilten Zufallsgrößen $A$ , $B$ und $C$ .

Für die Parameter $n$ und $p$ dieser Zufallsgrößen kommen folgende Werte vor:

$n = 10$ und $p = 0{,}2$

$n = 10$ und $p = 0{,}4$

$n = 40$ und $p = 0{,}1$

Ordnen Sie jedem der Histogramme I bis III die passenden Werte für $n$ und $p$ zu und begründen Sie die Zuordnung.

Histogramm I:

II:

Histogramm II:

III:

Histogramm III:

Aufgabenstellung: Aufgabe A2 - Teilaufgabe f · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2023

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) (i) Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 2).

Lösung: $0{,}38$

(1) (ii) Ermitteln Sie näherungsweise die Wahrscheinlichkeit P(X = 3).

Lösung: $0{,}27$

(2) Zuordnung der Histogramme I bis III zu den Parametern n und p

Lösung: Histogramm I: n = 40 und p = 0,1; Histogramm II: n = 10 und p = 0,2; Histogramm III: n = 10 und p = 0,4

(2) Begründen Sie die Zuordnung.

Lösung: Der Erwartungswert $\mu = n \cdot p$ beträgt für $n = 10, p = 0{,}2$ genau $\mu = 2$ (Maximum/Schwerpunkt bei 2 in Histogramm II). Für die beiden anderen Verteilungen ist $\mu = 4$ ; wegen $\sigma = \sqrt{10 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}6} = \sqrt{2{,}4} < \sqrt{3{,}6} = \sqrt{40 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}9}$ hat $n = 10, p = 0{,}4$ eine geringere Streuung (Histogramm III) als $n = 40, p = 0{,}1$ (Histogramm I).

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