Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

In Abbildung 1 ist die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke schematisch dargestellt. Zwischen den beiden vertikalen Pfeilern liegen 400 m. Die Fahrbahn befindet sich 20 m über der Wasseroberfläche.

Durch die beiden Pfeiler wird die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt unterteilt. Jeweils an der Spitze eines Pfeilers sind das Tragseil des mittleren Abschnitts und das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Das jeweilige Ende der Fahrbahn dient als Verankerung der beiden Abspannseile.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für 10 m in der Wirklichkeit. Die $x$-Achse folgt in der Seitenansicht der waagerechten Fahrbahn, die $y$-Achse der Symmetrieachse der Brücke.

Der Verlauf des Abspannseils im rechten Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$dargestellt.

Der Verlauf des Tragseils im mittleren Brückenabschnitt wird modellhaft durch den Funktionsterm$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot (x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$beschrieben.

a) Für den rechten Brückenabschnitt wird der Verlauf des Abspannseils im Modell durch den folgenden Funktionsterm dargestellt:

$$r(x) = \frac{253}{100} \cdot e^{\frac{1}{11}(32-x)} - \frac{253}{100}$$

beschrieben.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gesamtlänge der Fahrbahn der Brücke $640\text{ m}$ beträgt.

(2)

Auch für den linken Brückenabschnitt lässt sich der Verlauf des Abspannseils im Modell mit einem Funktionsterm beschreiben.

Geben Sie einen geeigneten Term $l(x)$ an und nennen Sie das Intervall, auf dem dieser Term das Abspannseil beschreibt.

(3)

Berechnen Sie, wie weit die Pfeiler aus dem Wasser herausragen.

b) Nun wird der mittlere Brückenabschnitt untersucht. Der Verlauf des Tragseils wird im Modell durch den folgenden Funktionsterm beschrieben:

$$s(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^6 \cdot (x^4 + 2560x^2) + \frac{125}{256}$$

beschrieben.

(1)

Begründen Sie, dass der Term von $s$ mit der Achsensymmetrie der Seitenansicht der Brücke vereinbar ist.

(2)

Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts liegen horizontal $40\text{ m}$ auseinander und unterscheiden sich in der Höhe um $5\text{ m}$.

Geben Sie eine Gleichung an, mit der sich im Modell die $x$-Koordinate des höher gelegenen Punkts bestimmen lässt.